Encontre a solução geral da EDO usando o método dos coeficientes indeterminados
Passo 1
O enunciado apresenta a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
e pede a solução geral usando o método dos coeficientes indeterminados. Vamos precisar de (i) solução geral da homogênea associada e (ii) uma forma de palpite para a parte particular, dado que o termo não homogêneo é um polinômio de grau 1.
Passo 2
Primeiro achamos a solução da equação homogênea
A equação característica é
cuja única raiz é
com multiplicidade 2. Logo a solução homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora buscamos um palpite para a solução particular
. Como o termo não homogêneo é o polinômio
(grau 1) e
não é raiz da característica, escolhemos
com
e
a determinar.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo na EDO não homogênea:
Igualando coeficientes em
e termo independente:
Portanto
Passo 5
A solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular: