Encontre a solução geral da EDO usando o método dos coeficientes indeterminados
y^{\prime \prime}-10 y^{\prime}+25 y=30 x+3

Passo 1

O enunciado apresenta a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y''-10y'+25y=30x+3
e pede a solução geral usando o método dos coeficientes indeterminados. Vamos precisar de (i) solução geral da homogênea associada e (ii) uma forma de palpite para a parte particular, dado que o termo não homogêneo é um polinômio de grau 1.

Passo 2

Primeiro achamos a solução da equação homogênea
y''-10y'+25y=0.
A equação característica é
r^2-10r+25=0,
cuja única raiz é r=5 com multiplicidade 2. Logo a solução homogênea é
y_h=(C_1+C_2x)e^{5x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora buscamos um palpite para a solução particular y_p. Como o termo não homogêneo é o polinômio 30x+3 (grau 1) e r=0 não é raiz da característica, escolhemos
y_p=Ax+B,
com A e B a determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_p:
y_p'=A, \quad y_p''=0.
Substituindo na EDO não homogênea:
0-10A+25(Ax+B)=30x+3
\Longrightarrow\quad 25A\,x+(25B-10A)=30x+3.
Igualando coeficientes em x e termo independente:
25A=30 \quad\Longrightarrow\quad A=\frac{30}{25}=\frac{6}{5},
25B-10A=3 \quad\Longrightarrow\quad 25B-10\cdot\frac{6}{5}=3 \quad\Longrightarrow\quad 25B-12=3 \quad\Longrightarrow\quad B=\frac{15}{25}=\frac{3}{5}.
Portanto
y_p=\frac{6}{5}x+\frac{3}{5}.

Passo 5

A solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=y_h+y_p =(C_1+C_2x)e^{5x}+\frac{6}{5}x+\frac{3}{5}.

Resposta

y(x)=(C_1+C_2x)e^{5x}+\frac{6}{5}x+\frac{3}{5}.

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