Sejam B o cilindro x^{2}+y^{2} \leq 1 com 0 \leq z \leq 1 e \sigma a fronteira de B. Calcule
\iint_{\sigma} \vec{F} \cdot \vec{n} d S
em que \vec{F}(x, y, z)=x y \vec{i}-\vec{j}+z^{2} \vec{k} e \vec{n} é a normal que aponta para fora de B.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de \vec{F}(x,y,z)=xy\,\vec{i}-\vec{j}+z^{2}\,\vec{k} pela superfície fechada \sigma do cilindro
B=\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}\le1,\;0\le z\le1\},
com a normal apontando para fora. Vamos aplicar o Teorema da Divergência.

Passo 2

O Teorema da Divergência diz que
\iint_{\sigma}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS = \iiint_{B}\nabla\cdot\vec{F}\,dV.

Passo 3

Calculamos a divergência de \vec{F}:
\nabla\cdot\vec{F} =\frac{\partial}{\partial x}(xy) +\frac{\partial}{\partial y}(-1) +\frac{\partial}{\partial z}(z^{2}) = y + 0 + 2z.

Passo 4

Logo
\iint_{\sigma}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS = \iiint_{B}(y + 2z)\,dV.
Para avaliar, usamos coordenadas cilíndricas
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad dV=r\,dr\,d\theta\,dz,
com 0\le r\le1, 0\le\theta\le2\pi, 0\le z\le1.

Passo 5

Separe em duas integrais:
\iiint_{B}y\,dV = \int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{1} (r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta\,dz =0
por simetria de \sin\theta, e
\iiint_{B}2z\,dV = 2\int_{0}^{1}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} z\;r\,dr\,d\theta\,dz.
Calculamos em partes:
\int_{0}^{1}r\,dr=\tfrac12,\quad \int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi,\quad \int_{0}^{1}z\,dz=\tfrac12.
Portanto
2\cdot\tfrac12\cdot2\pi\cdot\tfrac12 =\pi.

Passo 6

Somando as contribuições, o fluxo total é
0 + \pi = \pi.

Resposta

\pi

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