Resolva o PVI usando Cauchy-Euler e variaçāo de parâmetros
\left\{\begin{array}{l} x y^{\prime \prime}+y^{\prime}=x \\\ y(1)=1 \\\ y^{\prime}(1)=-\frac{1}{2} \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI
x\,y'' + y' = x, \quad y(1)=1,\quad y'(1)=-\tfrac12,
usando o método de Cauchy–Euler para a parte homogênea e variação de parâmetros para a particular. Vamos identificar a equação homogênea associada e depois obter uma solução particular.

Passo 2

A equação homogênea é
x\,y'' + y' = 0.
Esta é de Euler–Cauchy, onde se assume y_h = x^m. Substituindo:
x\bigl(m(m-1)x^{m-2}\bigr) + m\,x^{m-1} = 0 \;\Longrightarrow\; m(m-1) + m = 0 \;\Longrightarrow\; m^2 = 0,
ou seja, raiz dupla m=0. Logo
y_h(x) = C_1\,x^0 + C_2\,x^0\ln x = C_1 + C_2\ln x.

Passo 3

Para usar variação de parâmetros escrevemos a equação em forma padrão
y'' + \frac{1}{x}y' = 1.
Escolhemos duas soluções fundamentais da homogênea:
y_1(x)=1,\quad y_2(x)=\ln x.
O Wronskiano é
W = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\\ y_1' & y_2' \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & \ln x \\\\ 0 & \tfrac{1}{x} \end{vmatrix} =\frac{1}{x}.

Passo 4

As fórmulas de variação de parâmetros dão
u_1' = -\frac{y_2(x)\cdot 1}{W} = -\ln x \,\bigl(x\bigr) = -x\ln x, \quad u_2' = \frac{y_1(x)\cdot 1}{W} = x.
Integramos
u_1(x) = \int -x\ln x \,dx = -\frac{x^2}{2}\ln x + \frac{x^2}{4}, \quad u_2(x) = \int x\,dx = \frac{x^2}{2}.
Assim a solução particular é
y_p = u_1\,y_1 + u_2\,y_2 = \Bigl(-\tfrac{x^2}{2}\ln x + \tfrac{x^2}{4}\Bigr)\cdot1 + \frac{x^2}{2}\,\ln x = \frac{x^2}{4}.

Passo 5

A solução geral é
y(x) = y_h + y_p = C_1 + C_2\ln x + \frac{x^2}{4}.
Calculamos C_1,C_2 a partir das condições iniciais. Primeiro
y(1) = C_1 + C_2\cdot 0 + \tfrac{1}{4} = 1 \;\Longrightarrow\; C_1 = \tfrac34.
Em seguida
y'(x) = \frac{d}{dx}\Bigl(C_1 + C_2\ln x + \tfrac{x^2}{4}\Bigr) = \frac{C_2}{x} + \frac{x}{2},
logo
y'(1) = C_2 + \tfrac12 = -\tfrac12 \;\Longrightarrow\; C_2 = -1.

Resposta

\boxed{y(x) = \tfrac34 - \ln x + \tfrac{x^2}{4}.}

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