Calcule \iint_{\sigma} \vec{F} \cdot \vec{n} d S, sabendo que \sigma é a fronteira do conjunto B dado e \vec{n} é a normal apontando para fora de B, em que B=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq x\(e0 \leq z \leq 4}\right.) e\vec{F}=x y \vec{i}+y z \vec{j}+z^{2} \vec{k}$.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo
\iint_{\sigma}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS
através da superfície fechada \sigma=\partial B, com \vec{n} apontando para fora de
B=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid 0\le x\le1,\;0\le y\le x,\;0\le z\le4\}
e \vec{F}=xy\,\vec{i}+yz\,\vec{j}+z^2\,\vec{k}.
Como \sigma é a fronteira de um domínio volumétrico, aplicamos o Teorema da Divergência, que diz
\iint_{\sigma}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS =\iiint_{B}\nabla\cdot\vec{F}\,dV.

Passo 2

Calculamos a divergência de \vec{F}:
\nabla\cdot\vec{F} =\frac{\partial}{\partial x}(xy)+\frac{\partial}{\partial y}(yz)+\frac{\partial}{\partial z}(z^2) =y+z+2z =y+3z.

Passo 3

Pela divergência, o fluxo é
\iiint_{B}(y+3z)\,dV =\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{x}\int_{z=0}^{4}(y+3z)\,dz\,dy\,dx.

Passo 4

Integramos em z primeiro:
\int_{0}^{4}(y+3z)\,dz = y\cdot 4 +3\int_{0}^{4}z\,dz =4y+3\cdot\frac{4^2}{2} =4y+24.

Passo 5

Agora integramos em y:
\int_{0}^{x}(4y+24)\,dy =4\cdot\frac{x^2}{2}+24x =2x^2+24x.

Passo 6

Por fim, integramos em x:
\int_{0}^{1}(2x^2+24x)\,dx =2\cdot\frac{1^3}{3}+24\cdot\frac{1^2}{2} =\frac{2}{3}+12 =\frac{38}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{38}{3}

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