- Um bloco de massa
sem atrito está preso em uma mola, cuja constante é
. Em
a mola não está nem esticada nem comprimida, e o bloco se move no sentido negativo
.
a) Calcule o período, a amplitude e o ângulo de fase do movimento (
).
b) Escreva as equações para o deslocamento
, a velocidade
, e a aceleração
.
c) Determine a velocidade máxima do bloco.
d) Determine a energia cinética máxima, a energia potencial máxima e indique para quais valores de x isto ocorre.
e) Determine a energia mecânica do sistema e esboce um gráfico de
,
, e
.
a) Calcule o período, a amplitude e o ângulo de fase do movimento (
b) Escreva as equações para o deslocamento
c) Determine a velocidade máxima do bloco.
d) Determine a energia cinética máxima, a energia potencial máxima e indique para quais valores de x isto ocorre.
e) Determine a energia mecânica do sistema e esboce um gráfico de
Passo 1
O enunciado dá um bloco ligado a uma mola sem atrito com as seguintes informações:
Condições iniciais em
:
Perguntas feitas:
a) Calcular o período , a amplitude
e o ângulo de fase
.
b) Escrever as equações ,
e
.
c) Determinar a velocidade máxima do bloco.
d) Determinar a energia cinética máxima , a energia potencial máxima
e indicar para quais valores de
elas ocorrem.
e) Determinar a energia mecânica do sistema e esboçar (descrever) os gráficos de ,
e
.
a) Calcular o período
b) Escrever as equações
c) Determinar a velocidade máxima do bloco.
d) Determinar a energia cinética máxima
e) Determinar a energia mecânica do sistema e esboçar (descrever) os gráficos de
Passo 2
Breve revisão das fórmulas básicas (aula rápida e prática para a prova).
- Para um sistema massa-mola sem atrito, o movimento é harmônico simples (MHS) com pulsação (frequência angular)
Aqui
tem unidade
.
- O período
(tempo de uma oscilação completa) é
- A solução geral para o deslocamento pode ser escrita como
onde
é a amplitude (máximo valor absoluto de
) e
o ângulo de fase (determina a posição inicial relativa à função coseno). Significado das variáveis:
-
: deslocamento em metros no tempo . -
: amplitude em metros (sempre positivo). -
: fase inicial em radianos. - Velocidade e aceleração derivam de
:
- Energia: energia potencial elástica
energia cinética
energia mecânica total (constante no MHS sem atrito)
Observação prática: se em
temos
e
, usamos
para resolver
e
.
Passo 3
Calcular
e
usando os dados:
Vamos manter tanto a forma simbólica quanto o valor numérico:
O período é
Passo 4
Determinar
e
a partir de
e
.
Usamos as condições iniciais nas fórmulas:
Usamos as condições iniciais nas fórmulas:
As soluções para
são
. Testamos os dois casos principais:
- Se
, então e
- Se
(que é ), então e
o que forçaria
negativo (não faz sentido para amplitude que definimos positiva). Portanto escolhemos
Agora obtemos
:
Passo 5
Escrever as equações com os valores encontrados.
Forma geral com números:
Forma geral com números:
Podemos simplificar usando
:
Velocidade:
Usando identidades (ou derivando a forma simplificada):
portanto com números:
Aceleração:
Usando a forma numérica:
Também podemos escrever
Passo 6
Determinar a velocidade máxima.
Em MHS a velocidade máxima em módulo é . Como definimos
a partir da condição inicial, obtemos
Em MHS a velocidade máxima em módulo é
(Sinal: a velocidade assume valores
dependendo do instante; o valor absoluto máximo é
.)
Passo 7
Energia cinética máxima
e energia potencial máxima
; para quais
ocorrem.
A energia mecânica total (constante) é
A energia mecânica total (constante) é
Usando
e
:
Logo
exatamente (resultado simples e conveniente).
- Energia cinética máxima
: ocorre quando , isto é em . Então
- Energia potencial máxima
: ocorre nas amplitudes . Então
A função potencial é
(em joules, com
em metros). A energia cinética em função de
é
Verificação rápida: em
,
; em
,
.
Passo 8
Energia mecânica e esboço dos gráficos (descrição para a prova).
- Energia mecânica:
(constante). - Gráfico de
: é uma parábola que abre para cima com vértice em . Em fórmulas:
Em
,
.
- Gráfico de
: é uma linha horizontal em . - Gráfico de
: é um “inverted” (parábola para baixo) com máximo em e zeros em .
Como dica para a prova: desenhe um eixo horizontal para, trace (parábola), desenhe uma linha horizontal em (essa é ), e subtraia mentalmente a parábola da reta para obter (que será uma parábola invertida tocando o eixo nas amplitudes). Marque os pontos importantes: (máx de ), (máx de , ).
Resposta
a)
b)
(com
).
c)
d) ocorre em
ocorre em
e)
Gráficos: (parábola positiva),
(reta horizontal),
(parábola invertida) com os pontos notáveis indicados acima.
b)
c)
d)
e)
Gráficos: