1. Um bloco de massa de 0,5 \mathrm{Kg} oscila em MHS preso a uma mola de constante elástica 20 \mathrm{~N} / \mathrm{m} em uma superfície lisa. Se o bloco é colocado em movimento em t= 0 estando em \mathrm{x}_{0}=0 e com uma velocidade de 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s} para a direita escreva a função posição na forma x=A \cos (\omega t+\varnothing), determinando a (a) amplitude, (b) a frequência angular e (c) a constante de fase \varnothing. (d) Construa o gráfico de posição versus tempo. (R.: (a) 0,32 \mathrm{~m}; (b) 6,32 \mathrm{rad} / \mathrm{s}; (c) -1,57 \mathrm{rad} )

Passo 1

O enunciado descreve um bloco de massa m=0,5\:\mathrm{kg} preso a uma mola de constante elástica k=20\:\mathrm{N/m} que executa MHS sem atrito. Nas condições iniciais, em t=0 temos
x(0)=0,\quad v(0)=2\:\mathrm{m/s}\\ (\text{para a direita}).
Queremos obter a solução na forma
x(t)=A\cos\bigl(\omega t+\varphi\bigr),
determinando (a) A, (b) \omega, (c) \varphi e (d) esboçando o gráfico x vs.\ t.

Passo 2

Em um MHS livre a frequência angular é dada por
\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}.

Passo 3

A solução geral de um MHS é
x(t)=A\cos\bigl(\omega t+\varphi\bigr),
e a velocidade associada é
v(t)=\dot x(t)=-A\,\omega\,\sin\bigl(\omega t+\varphi\bigr).

Passo 4

Aplicando x(0)=0 na solução geral:
0 = x(0) = A\cos\varphi \quad\Longrightarrow\quad \cos\varphi = 0 \quad\Longrightarrow\quad \varphi = \frac{\pi}{2}+n\pi,\;n\in\mathbb{Z}.

Passo 5

Aplicando v(0)=2\:\mathrm{m/s}:
2 = v(0) = -A\,\omega\,\sin\varphi.
Como \cos\varphi=0, temos \sin\varphi=\pm1. Se \varphi=\pi/2, então \sin\varphi=1 e 2=-A\omega leva a A<0 (descartado). Se \varphi=-\pi/2, então \sin\varphi=-1 e
2 = -A\,\omega\,(-1) = A\,\omega \quad\Longrightarrow\quad A = \frac{2}{\omega}, \quad \varphi = -\frac{\pi}{2}.

Passo 6

Calculando numericamente:
\omega = \sqrt{\frac{20}{0,5}} = \sqrt{40}\approx 6,32\:\mathrm{rad/s}, \quad A = \frac{2}{6,32}\approx 0,316\:\mathrm{m}\approx 0,32\:\mathrm{m}, \quad \varphi = -\frac{\pi}{2}\approx -1,57\:\mathrm{rad}.

Passo 7

O gráfico de x(t)=0,32\cos(6,32\,t -1,57) versus t é uma cossenoide com:
\text{amplitude }0,32\:\mathrm{m},\quad \text{fase inicial }-\frac{\pi}{2},\quad \text{período }T=\frac{2\pi}{6,32}\approx0,995\:\mathrm{s}.í
Em t=0 temos x=0, em t=T/4\approx0{,}25\:\mathrm{s} atinge +0{,}32\:\mathrm{m}, em t=T/2\approx0{,}50\:\mathrm{s} volta a zero, e assim por diante, repetindo-se ciclicamente.

Resposta

(a) A\approx0,32\:\mathrm{m}
(b) \omega\approx6,32\:\mathrm{rad/s}
(c) \varphi=-\tfrac{\pi}{2}\approx -1,57\:\mathrm{rad}
(d) Gráfico de x(t)=0,32\cos(6,32\,t-1,57): cossenoide com os valores acima, começando em x(0)=0, subindo a +0,32\:\mathrm{m} em t\approx0,25\:\mathrm{s}, voltando a zero em t\approx0,50\:\mathrm{s} etc.

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