Questão 3 (3.0)
No interior de um cilindro com comprimento infinito existe campo elétrico radial de intensidade constante \vec{E}= E_{0} \hat{\rho}, onde \hat{\rho}=\cos \varphi \hat{x}+\sin \varphi \hat{y} é versor radial em coordenadas cilíndricas e E_{0}= const.
  1. Determine componentes Cartesianas E_{x}, E_{y} e E_{z} do campo elétrico.
  2. Calcule divergente deste campo \nabla \cdot \vec{E}.
  3. Determine densidade de carga elétrica no interior de cilindro que gera este campo.

Passo 1

O enunciado nos dá um campo elétrico em coordenadas cilíndricas
\vec E = E_{0}\,\hat\rho,
onde \hat\rho=\cos\varphi\,\hat x+\sin\varphi\,\hat y e E_{0} é constante. Pede-se:
  1. Componentes cartesianas E_x,E_y,E_z.
  2. O divergente \nabla\cdot\vec E.
  3. A densidade de carga \rho_v que gera esse campo pelo teorema de Gauss local \nabla\cdot\vec E=\rho_v/\varepsilon_0.

Passo 2

Para passar a componente radial para cartesianas, usamos \cos\varphi = \dfrac{x}{\rho}, \sin\varphi = \dfrac{y}{\rho}, com \rho=\sqrt{x^2+y^2}.
Como
\vec E = E_{0}\,\hat\rho =E_{0}\bigl(\cos\varphi\,\hat x+\sin\varphi\,\hat y\bigr),
temos
E_x = E_{0}\,\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\quad E_y = E_{0}\,\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}},\quad E_z = 0.

Passo 3

Usamos a fórmula do divergente em cilíndricas:
\nabla\cdot\vec E =\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho\,E_{\rho}) +\frac{1}{\rho}\frac{\partial E_{\varphi}}{\partial\varphi} +\frac{\partial E_{z}}{\partial z}.
Aqui E_{\rho}=E_{0} (constante), E_{\varphi}=0, E_{z}=0. Logo
\nabla\cdot\vec E =\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho\,E_{0}) =\frac{1}{\rho}\,E_{0} =\frac{E_{0}}{\rho}.

Passo 4

Pela lei de Gauss local,
\nabla\cdot\vec E = \frac{\rho_v}{\varepsilon_{0}},
portanto
\rho_v = \varepsilon_{0}\,\nabla\cdot\vec E =\varepsilon_{0}\,\frac{E_{0}}{\rho}.

Resposta

E_x = E_{0}\,\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\quad E_y = E_{0}\,\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}},\quad E_z = 0. \nabla\cdot\vec E = \dfrac{E_{0}}{\rho}. \rho_v = \varepsilon_{0}\,\dfrac{E_{0}}{\rho}.

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