Questão 3 (3.0)

No interior de uma bola de raio a com carga volumétrica \rho(r) o campo eletrostático é dado pela formula
\vec{E}=\alpha_{n} r^{n} \vec{r}
onde
\vec{r}=x \hat{x}+y \hat{y}+z \hat{z}, \quad r=\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{1}{2}}, \quad \alpha_{n}=\frac{\rho_{0}}{\epsilon_{0}} \frac{1}{n+3} \frac{1}{a^{n}}
Determine componentes Cartesianas E_{x}, E_{y} e E_{z} do campo elétrico.
Calcule divergente deste campo \nabla \cdot \vec{E}.
Determine densidade de carga elétrica no interior de cilindro que gera este campo.
  1. Escreve este campo em coordenadas Cartesianas identificando componentes E_{x}, E_{y}, E_{z}.
  2. Calcule divergente deste campo e determine expressão para a função \rho(r).

Passo 1

O enunciado dá o campo elétrico dentro de uma esfera de raio a como
\vec{E}=\alpha_{n}\,r^{n}\,\vec{r},
onde \vec{r}=x\hat{x}+y\hat{y}+z\hat{z}, r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} e
\alpha_{n}=\frac{\rho_{0}}{\varepsilon_{0}}\;\frac{1}{n+3}\;\frac{1}{a^{n}}.
Pede-se: 1) componentes cartesianas E_{x},E_{y},E_{z}; 2) o divergente \nabla\cdot\vec{E}; 3) a densidade de carga \rho(r) usando a relação diferencial de Gauss \nabla\cdot\vec{E}=\rho/\varepsilon_{0}.

Passo 2

Para obter as componentes cartesianas basta projetar \vec{E} em cada eixo. Como \vec{E}=\alpha_{n}\,r^{n}(x\hat{x}+y\hat{y}+z\hat{z}), temos
E_{x}=\alpha_{n}\,r^{n}\,x, \quad E_{y}=\alpha_{n}\,r^{n}\,y, \quad E_{z}=\alpha_{n}\,r^{n}\,z.

Passo 3

O divergente é
\nabla\cdot\vec{E} =\frac{\partial E_{x}}{\partial x} +\frac{\partial E_{y}}{\partial y} +\frac{\partial E_{z}}{\partial z}.
Calculando um termo genérico,
\frac{\partial}{\partial x}(\alpha_{n}r^{n}x) =\alpha_{n}\bigl(n\,r^{n-2}x^{2}+r^{n}\bigr).
Analogamente para y e z. Somando os três termos:
\nabla\cdot\vec{E} =\alpha_{n}\bigl[n\,r^{n-2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})+3\,r^{n}\bigr] =\alpha_{n}(n+3)\,r^{n}.

Passo 4

Pela lei de Gauss diferencial, \nabla\cdot\vec{E}=\rho(r)/\varepsilon_{0}, segue
\rho(r)=\varepsilon_{0}\,\nabla\cdot\vec{E} =\varepsilon_{0}\,\alpha_{n}(n+3)\,r^{n}.
Mas \alpha_{n}=(\rho_{0}/\varepsilon_{0})\,(1/(n+3))\,(1/a^{n}), logo
\rho(r) =\rho_{0}\,\frac{r^{n}}{a^{n}}.

Resposta

E_{x}=\(alpha_{n}), r^{n},x,\quad
E_{y}=\(alpha_{n}), r^{n},y,\quad
E_{z}=\(alpha_{n}), r^{n},z
abla\cdot\vec{E}=\(alpha_{n})(n +3), r^{n}
\rho®=\(rho_{0}),\frac{ r^{n}}{ a^{n}}.

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