Um bloco A de massa m se movimenta inicialmente com velocidade v quando colide com um bloco B, também com massa m, que se encontra em repouso. Se o coeficiente de restituição entre os blocos é \varepsilon=1 / 2, e o coeficiente de atrito cinético da superfície \mu_{c}=1 / 2, mostre que:
a) A velocidade de B após a colisão pode ser escrita como v_{B}^{\prime}=3 v / 4.
b) 0 tempo necessário para o bloco B alcançar o repouso novamente pode ser escrito como t=3 v /(2 g).
c) a distância que o bloco B percorre até parar pode ser escrita como d=9 /(16 \mathrm{~g}).

Passo 1

O enunciado trata de duas partes da mecânica: colisão unidimensional com coeficiente de restituição e movimento de deslizamento com atrito. Temos dois blocos de mesma massa m, o bloco A com velocidade inicial v colide com o bloco B em repouso. O coeficiente de restituição entre eles é \varepsilon=\tfrac12. Depois da colisão, o bloco B desliza sobre uma superfície com coeficiente de atrito cinético \mu_{c}=\tfrac12 até parar. Para resolver, vamos usar:
  1. Fórmula da velocidade após colisão para massas iguais e coeficiente de restituição.
  2. Cinemática do movimento com aceleração constante (atrito).

Passo 2

Para massas iguais m e bloco B inicialmente em repouso, a velocidade de B imediatamente após a colisão vem da relação
v_{B}' = \frac{1+\varepsilon}{2}\,v.
Substituindo \varepsilon=\tfrac12 obtém-se
v_{B}' = \frac{1 + \tfrac12}{2}\,v = \frac{3}{4}\,v.

Passo 3

Após a colisão, o bloco B sofre força de atrito cinético \;F_{\rm atrito} = \mu_{c} m g, gerando desaceleração
a = \frac{F_{\rm atrito}}{m} = \mu_{c}\,g = \frac12\,g.
O tempo que ele leva para parar partindo de v_{B}' é
t = \frac{v_{B}'}{a} = \frac{\tfrac{3}{4}v}{\tfrac12\,g} = \frac{3v}{2g}.

Passo 4

A distância percorrida até parar, com velocidade inicial v_{B}' e desaceleração a, é
d = \frac{(v_{B}')^{2}}{2a} = \frac{\bigl(\tfrac{3}{4}v\bigr)^{2}}{2\cdot\bigl(\tfrac12\,g\bigr)} = \frac{\tfrac{9}{16}v^{2}}{g} = \frac{9}{16}\,\frac{v^{2}}{g}.

Resposta

a) v_{B}' = \tfrac{3}{4}\,v
b) t = \tfrac{3v}{2g}
c) d = \tfrac{9}{16}\,\dfrac{v^{2}}{g}

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