QUESTÃO 04)

Um elétron que tem velocidade \mathbf{v}=\left(1 \times 10^{6} \mathrm{~m} / \mathrm{s}\right) \mathbf{i}-\left(2 \times 10^{6} \mathrm{~m} / \mathrm{s}\right) \mathbf{j}-\left(3 \times 10^{6} \mathrm{~m} / \mathrm{s}\right) \mathbf{k} penetra num campo magnético \vec{B}=(0,030 T) \hat{i}-(0,15 T) \hat{j}. Determine a força magnética sobre o elétron (em função dos unitários).

Passo 1

O enunciado nos dá um elétron com velocidade \mathbf{v}=\bigl(1\times10^{6}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}\bigr)\mathbf{i}-\bigl(2\times10^{6}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}\bigr)\mathbf{j}-\bigl(3\times10^{6}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}\bigr)\mathbf{k}
e um campo magnético \mathbf{B}=\bigl(0,03\\ \mathrm{T}\bigr)\mathbf{i}-\bigl(0,15\\ \mathrm{T}\bigr)\mathbf{j}.
Queremos a força magnética dada pela lei de Lorentz \mathbf{F}=q\,\mathbf{v}\times\mathbf{B},
onde q é a carga do elétron.

Passo 2

Vamos calcular o produto vetorial \mathbf{v}\times\mathbf{B} usando
\mathbf{v}\times\mathbf{B} =\bigl(v_yB_z - v_zB_y\bigr)\mathbf{i} +\bigl(v_zB_x - v_xB_z\bigr)\mathbf{j} +\bigl(v_xB_y - v_yB_x\bigr)\mathbf{k}.
Como B_z=0, temos
v_yB_z - v_zB_y =0 -\bigl(-3\times10^{6}\bigr)\bigl(-0,15\bigr) =-0,45\times10^{6},
v_zB_x - v_xB_z =\bigl(-3\times10^{6}\bigr)\bigl(0,03\bigr)-0 =-0,09\times10^{6},
v_xB_y - v_yB_x =\bigl(1\times10^{6}\bigr)\bigl(-0,15\bigr) -\bigl(-2\times10^{6}\bigr)\bigl(0,03\bigr) =-0,15\times10^{6}+0,06\times10^{6} =-0,09\times10^{6}.
Portanto
\mathbf{v}\times\mathbf{B} =-4{,}5\times10^{5}\,\mathbf{i} -9\times10^{4}\,\mathbf{j} -9\times10^{4}\,\mathbf{k}.

Passo 3

A força magnética é \mathbf{F}=q\,\mathbf{v}\times\mathbf{B}
e a carga do elétron é q=-e=-1{,}602\times10^{-19}\,\mathrm{C}.
Logo
\mathbf{F} =-1{,}602\times10^{-19}\times \bigl(-4{,}5\times10^{5}\,\mathbf{i} -9\times10^{4}\,\mathbf{j} -9\times10^{4}\,\mathbf{k}\bigr).

Passo 4

Multiplicando os escalares, obtemos
F_x =1{,}602\times10^{-19}\times4{,}5\times10^{5} =7{,}209\times10^{-14}\,\mathrm{N},
F_y =1{,}602\times10^{-19}\times9\times10^{4} =1{,}4418\times10^{-14}\,\mathrm{N},
F_z =1{,}602\times10^{-19}\times9\times10^{4} =1{,}4418\times10^{-14}\,\mathrm{N}.
Arredondando a três algarismos significativos,
\mathbf{F} =7{,}21\times10^{-14}\,\mathbf{i} +1{,}44\times10^{-14}\,\mathbf{j} +1{,}44\times10^{-14}\,\mathbf{k}\quad(\mathrm{N}).

Resposta

\mathbf{F} =7{,}21\times10^{-14}\,\mathbf{i} +1{,}44\times10^{-14}\,\mathbf{j} +1{,}44\times10^{-14}\,\mathbf{k}\quad(\mathrm{N}).

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