Um bloco de massa
preso a uma mola com constante elástica
com está sujeito a uma força restauradora
a) Mostre que a equação diferencial da posição é:
b) Mostre que o período de oscilação do sistema vale:
a) Mostre que a equação diferencial da posição é:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um bloco de massa
preso a uma mola com constante elástica
, e a força que age sobre ele é a força restauradora
. A gente vai usar conceitos de Física sobre movimentos oscilatórios e as leis de Newton pra resolver as partes a) e b).
Passo 2
Primeiro, vamos para a parte a). A força restauradora
indica que a mola tenta trazer o bloco de volta para a posição de equilíbrio. De acordo com a segunda lei de Newton,
, onde
é a aceleração.
Passo 3
A aceleração
é a segunda derivada da posição em relação ao tempo, ou seja,
. Então, podemos escrever:
Passo 4
Simplificando os sinais, temos:
E assim, chegamos à equação diferencial da posição:
Passo 5
Agora, para a parte b), queremos encontrar o período de oscilação
desse sistema. Sabemos que para movimentos harmônicos simples, o período é dado por:
Passo 6
Essa fórmula vem da solução da equação diferencial que encontramos na parte a). A constante
está relacionada à frequência angular
, onde
. O período é então
.
Resposta
a) A equação diferencial da posição é:
b) O período de oscilação do sistema é: