Um bloco de massa m preso a uma mola com constante elástica k com está sujeito a uma força restauradora F=-k x
a) Mostre que a equação diferencial da posição é:
ddotx+km x=0
b) Mostre que o período de oscilação do sistema vale:
T=2 pi raizmk

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um bloco de massa m preso a uma mola com constante elástica k , e a força que age sobre ele é a força restauradora F = -k x . A gente vai usar conceitos de Física sobre movimentos oscilatórios e as leis de Newton pra resolver as partes a) e b).

Passo 2

Primeiro, vamos para a parte a). A força restauradora F = -k x indica que a mola tenta trazer o bloco de volta para a posição de equilíbrio. De acordo com a segunda lei de Newton, F = m cdot a , onde a é a aceleração.

Passo 3

A aceleração a é a segunda derivada da posição em relação ao tempo, ou seja, a = ddotx . Então, podemos escrever:
-m ddotx = -k x

Passo 4

Simplificando os sinais, temos:
m ddotx + k x = 0
E assim, chegamos à equação diferencial da posição:
ddotx + km x = 0

Passo 5

Agora, para a parte b), queremos encontrar o período de oscilação T desse sistema. Sabemos que para movimentos harmônicos simples, o período é dado por:
T = 2 pi raizmk

Passo 6

Essa fórmula vem da solução da equação diferencial que encontramos na parte a). A constante km está relacionada à frequência angular omega , onde omega = raizkm . O período é então T = 2piomega = 2pi raizmk .

Resposta

a) A equação diferencial da posição é:
ddotx + km x = 0
b) O período de oscilação do sistema é:
T = 2 pi raizmk

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