Determine x(t), dotx(0) e ddotx(0) a partir das seguintes condições de contorno
x(0)=L ; dotx(0)=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde precisamos encontrar x(t) , a velocidade inicial dotx(0) e a aceleração inicial ddotx(0) . As condições que a gente tem são:
  • x(0) = L (a posição inicial é L )
  • dotx(0) = 0 (a velocidade inicial é zero)
Para resolver isso, vamos usar o conceito de expansão em série de Taylor, que ajuda a expressar funções de forma aproximada perto de um ponto específico, no caso, t = 0 .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a série de Taylor. Para uma função x(t) que é diferenciável várias vezes, a expansão em série de Taylor ao redor de t = 0 é dada por:
x(t) = x(0) + dotx(0) t + 12 ddotx(0) t^2 + 16 x^(3)(0) t^3 + dots
Isso significa que podemos aproximar x(t) usando os valores das derivadas de x no tempo inicial t = 0 .

Passo 3

Agora, vamos aplicar as condições que a gente tem:
  1. Posição inicial: x(0) = L
  2. Velocidade inicial: dotx(0) = 0
Substituindo esses valores na série de Taylor, temos:
x(t) = L + 0 cdot t + 12 ddotx(0) t^2 + 16 x^(3)(0) t^3 + dots
Simplificando:
x(t) = L + 12 ddotx(0) t^2 + 16 x^(3)(0) t^3 + dots

Passo 4

Para determinar ddotx(0) , precisaríamos de uma segunda condição ou de uma equação que relacione a aceleração. No entanto, com as informações dadas, conseguimos expressar x(t) até a segunda derivada.
Assim, a resposta final fica:
x(t) = L + 12 ddotx(0) t^2
E sabemos que:
dotx(0) = 0 e ddotx(0) é a ace<=ração inicial que depende de mais informações éçãçõ

Resposta

x(t) = L + 12 ddotx(0) t^2 , dotx(0) = 0 e ddotx(0) é a aceleração inicial determinada conforme as condições adicionais.

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