Determine
e
a partir das seguintes condições de contorno
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde precisamos encontrar
, a velocidade inicial
e a aceleração inicial
. As condições que a gente tem são:
-
(a posição inicial é ) -
(a velocidade inicial é zero)
Para resolver isso, vamos usar o conceito de expansão em série de Taylor, que ajuda a expressar funções de forma aproximada perto de um ponto específico, no caso,
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a série de Taylor. Para uma função
que é diferenciável várias vezes, a expansão em série de Taylor ao redor de
é dada por:
Isso significa que podemos aproximar
usando os valores das derivadas de
no tempo inicial
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar as condições que a gente tem:
- Posição inicial:
- Velocidade inicial:
Substituindo esses valores na série de Taylor, temos:
Simplificando:
Passo 4
Para determinar
, precisaríamos de uma segunda condição ou de uma equação que relacione a aceleração. No entanto, com as informações dadas, conseguimos expressar
até a segunda derivada.
Assim, a resposta final fica:
E sabemos que: