Um bloco de 1,5 \mathrm{~kg} é abandonado sobre um plano inclinado a uma altura de 3,5 \mathrm{~m} da base. Sabendo que o coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a rampa vale 0,3 e o ângulo de inclinação é de 30^{\circ} determine a velocidade com que o bloco chega à base da rampa.

Passo 1

O enunciado diz que um bloco de m=1{,}5\\ \mathrm{kg} desliza de uma altura h=3{,}5\\ \mathrm{m} em um plano inclinado de ângulo \theta=30^\circ com coeficiente de atrito cinético \mu_k=0{,}3. Vamos usar conservação de energia mecânica incluindo o trabalho da força de atrito para encontrar a velocidade final v na base da rampa.

Passo 2

Primeiro, determinamos o comprimento s do percurso do bloco ao longo da rampa. Como h é a altura vertical,
s = \frac{h}{\sin\theta}.

Passo 3

A força de atrito é
F_{\mathrm{at}} = \mu_k\,m\,g\,\cos\theta,
e o trabalho da força de atrito (sempre negativo em relação ao deslocamento) vale
W_{\mathrm{at}} = F_{\mathrm{at}}\;s = \mu_k\,m\,g\,\cos\theta\;\frac{h}{\sin\theta} = \mu_k\,m\,g\,h\,\cot\theta.

Passo 4

Pela conservação da energia mecânica (energia potencial gravitacional convertida em energia cinética menos a energia dissipada pelo atrito), temos
\Delta K = K_{\mathrm{f}} - K_{\mathrm{i}} = m\,g\,h - W_{\mathrm{at}}.
Como K_{\mathrm{i}}=0 (parte do repouso) e K_{\mathrm{f}}=\tfrac12 m v^2, substituímos e fatoramos:
\tfrac12\,m\,v^2 = m\,g\,h - \mu_k\,m\,g\,h\,\cot\theta = m\,g\,h\bigl(1 - \mu_k\,\cot\theta\bigr).

Passo 5

Isolando v e usando g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}, \theta=30^\circ (logo \cot30^\circ=\sqrt3\approx1{,}732) e h=3{,}5\\ \mathrm{m}, temos
v = \sqrt{2\,g\,h\,\bigl(1 - \mu_k\,\cot\theta\bigr)} = \sqrt{2 \times 9{,}8 \times 3{,}5 \times \bigl(1 - 0{,}3 \times 1{,}732\bigr)}\approx5{,}74\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

A velocidade do bloco ao chegar à base da rampa é aproximadamente 5{,}74\\ \mathrm{m/s}.

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