Sabendo que a energia potencial de um corpo em função da posição é dada por U(z)=3 z^{2}-2 z^{4}, onde a energia potencial está em joules e a posição em metros, determine as posições dos pontos de equilibrio.

Passo 1

O enunciado nos dá a energia potencial
U(z)=3\,z^{2}-2\,z^{4}
em função da posição z. Queremos encontrar as posições de equilíbrio, que ocorrem quando a força resultante é zero. Como a força é F(z)=-\frac{dU}{dz}, basta resolver
\frac{dU}{dz}=0.

Passo 2

Calcular o derivado de U em relação a z.
\frac{dU}{dz} = \frac{d}{dz}\bigl(3z^{2}-2z^{4}\bigr) = 6z - 8z^{3}.

Passo 3

Igualar o derivado a zero e resolver:
6z - 8z^{3} = 0 \;\Longleftrightarrow\; 2z\,(3-4z^{2}) = 0.
Dessa fatoração vêm as soluções
2z = 0 \;\Rightarrow\; z=0,
3 - 4z^{2} = 0 \;\Rightarrow\; z^{2}=\frac{3}{4} \;\Rightarrow\; z=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}.

Resposta

As posições de equilíbrio são
z=0,\quad z=+\frac{\sqrt{3}}{2},\quad z=-\frac{\sqrt{3}}{2}
(metros).

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