Um pequeno objeto, abandonado do repouso no ponto \mathbf{P}, desliza ao longo de um “loop” sem atrito, de raio R. No ponto mais alto do “loop” (ponto A) a velocidade do objeto é v=\sqrt{2 R g}. No ponto C a velocidade do objeto é \sqrt{2} v e no ponto mais baixo (ponto B) a velocidade vale \sqrt{3} v. Determine a razão entre as forças exercidas sobre o objeto pela parede do “loop” (a) nos pontos CeA \left(N_{C} / N_{A}\right) e (b) nos pontos \mathbf{B} e \mathbf{A}\left(N_{B} / N_{A}\right).

Passo 1

O enunciado pede duas razões entre as forças normais que a parede do loop exerce sobre o objeto:
  • (a) N_{C}/N_{A}, razão entre o normal no ponto C e no ponto A;
  • (b) N_{B}/N_{A}, razão entre o normal no ponto B e no ponto A.
Informações dadas (peguei os valores do enunciado e da figura):
  • O loop tem raio R.
  • O movimento é sem atrito.
  • No ponto mais alto A a velocidade é \,v_A = v = \sqrt{2 R g}.
  • No ponto C a velocidade é \,v_C = \sqrt{2}\,v.
  • No ponto mais baixo B a velocidade é \,v_B = \sqrt{3}\,v.
Não vou resolver nada neste passo; apenas listei o que é pedido e os dados fornecidos.

Passo 2

Conceito importante que vamos usar (aula rápida e calma):
  • Quando um objeto descreve uma trajetória circular de raio R com velocidade v, ele tem aceleração centrípeta dirigida ao centro da curva dada por
a_c = \frac{v^2}{R}.
  • Pela segunda lei de Newton, a soma das componentes das forças na direção radial (isto é, na direção do centro) deve fornecer a força centrípeta:
\sum F_{\text{radial}} = m a_c = m\frac{v^2}{R}.
Aqui m é a massa do objeto, v a velocidade naquele ponto e R o raio da curva. “Força radial” significa projeção das forças (peso, normal, etc.) na direção que aponta para o centro da trajetória. Vou usar isso para escrever equações em cada ponto.

Passo 3

Análise no ponto A (topo do loop). Primeiro, identifique as forças e suas direções radiais:
  • Peso mg aponta para baixo; no topo, o centro da trajetória está abaixo, então mg tem componente radial dirigida ao centro (inteira, pois é vertical).
  • Normal N_A da parede sobre o bloco também aponta para o centro (a parede empurra para dentro).
    Portanto, a soma das forças dirigidas ao centro é N_A + mg. Pela segunda lei radial:
N_A + mg = m\frac{v_A^2}{R}.
Agora substituímos v_A = v e o valor dado v^2 = 2 R g. Primeiro calcule \dfrac{v_A^2}{R}:
\frac{v_A^2}{R} = \frac{v^2}{R} = \frac{2 R g}{R} = 2g.
Então
N_A + mg = m(2g) \quad\Rightarrow\quad N_A = m(2g) - mg = mg.
Conclusão: N_A = mg. (Ótimo — já temos N_A em termos de mg.)

Passo 4

Análise no ponto C (lado horizontal do loop). Identifique forças e componentes radiais:
  • No ponto lateral, o centro do círculo está horizontalmente a uma direção (por exemplo, para a direita). O peso mg é vertical e, portanto, não tem componente na direção radial horizontal (a componente radial do peso é zero).
  • A única força radial é a normal N_C apontando para o centro.
    Pela segunda lei radial:
N_C = m\frac{v_C^2}{R}.
Agora substituímos v_C = \sqrt{2}\,v. Calcule v_C^2:
v_C^2 = (\sqrt{2}\,v)^2 = 2v^2 = 2(2 R g) = 4 R g.
Logo
\frac{v_C^2}{R} = \frac{4 R g}{R} = 4g,
e
N_C = m(4g) = 4\,m g.

Passo 5

Análise no ponto B (parte mais baixa do loop). Identifique forças e sinais:
  • No fundo, o centro do círculo está para cima. A normal N_B aponta para o centro (para cima).
  • O peso mg aponta para baixo (oposto ao centro), então sua componente radial é -mg.
    Pela segunda lei radial (tomando positivo para cima, em direção ao centro):
N_B - mg = m\frac{v_B^2}{R}.
Agora substituímos v_B = \sqrt{3}\,v. Calcule v_B^2:
v_B^2 = (\sqrt{3}\,v)^2 = 3v^2 = 3(2 R g) = 6 R g.
Então
\frac{v_B^2}{R} = \frac{6 R g}{R} = 6g,
e
N_B - mg = m(6g) \quad\Rightarrow\quad N_B = m(6g) + mg = 7\,m g.

Passo 6

Agora calcule as razões pedidas usando os valores obtidos:
  • N_A = m g.
  • N_C = 4\,m g.
  • N_B = 7\,m g.
Logo:
\frac{N_C}{N_A} = \frac{4\,m g}{m g} = 4,
\frac{N_B}{N_A} = \frac{7\,m g}{m g} = 7.

Resposta

\dfrac{N_{C}}{N_{A}} = 4
\dfrac{N_{B}}{N_{A}} = 7

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