Um pequeno objeto, abandonado do repouso no ponto
, desliza ao longo de um “loop” sem atrito, de raio
. No ponto mais alto do “loop” (ponto A) a velocidade do objeto é
. No ponto
a velocidade do objeto é
e no ponto mais baixo (ponto B) a velocidade vale
. Determine a razão entre as forças exercidas sobre o objeto pela parede do “loop” (a) nos pontos CeA
e (b) nos pontos
e
.
Passo 1
O enunciado pede duas razões entre as forças normais que a parede do loop exerce sobre o objeto:
- (a)
, razão entre o normal no ponto e no ponto ; - (b)
, razão entre o normal no ponto e no ponto .
Informações dadas (peguei os valores do enunciado e da figura):
- O loop tem raio
. - O movimento é sem atrito.
- No ponto mais alto
a velocidade é . - No ponto
a velocidade é . - No ponto mais baixo
a velocidade é .
Não vou resolver nada neste passo; apenas listei o que é pedido e os dados fornecidos.
Passo 2
Conceito importante que vamos usar (aula rápida e calma):
- Quando um objeto descreve uma trajetória circular de raio
com velocidade , ele tem aceleração centrípeta dirigida ao centro da curva dada por
- Pela segunda lei de Newton, a soma das componentes das forças na direção radial (isto é, na direção do centro) deve fornecer a força centrípeta:
Aqui
é a massa do objeto,
a velocidade naquele ponto e
o raio da curva. “Força radial” significa projeção das forças (peso, normal, etc.) na direção que aponta para o centro da trajetória. Vou usar isso para escrever equações em cada ponto.
Passo 3
Análise no ponto
(topo do loop). Primeiro, identifique as forças e suas direções radiais:
- Peso
aponta para baixo; no topo, o centro da trajetória está abaixo, então tem componente radial dirigida ao centro (inteira, pois é vertical). - Normal
da parede sobre o bloco também aponta para o centro (a parede empurra para dentro).
Portanto, a soma das forças dirigidas ao centro é. Pela segunda lei radial:
Agora substituímos
e o valor dado
. Primeiro calcule
:
Então
Conclusão:
. (Ótimo — já temos
em termos de
.)
Passo 4
Análise no ponto
(lado horizontal do loop). Identifique forças e componentes radiais:
- No ponto lateral, o centro do círculo está horizontalmente a uma direção (por exemplo, para a direita). O peso
é vertical e, portanto, não tem componente na direção radial horizontal (a componente radial do peso é zero). - A única força radial é a normal
apontando para o centro.
Pela segunda lei radial:
Agora substituímos
. Calcule
:
Logo
e
Passo 5
Análise no ponto
(parte mais baixa do loop). Identifique forças e sinais:
- No fundo, o centro do círculo está para cima. A normal
aponta para o centro (para cima). - O peso
aponta para baixo (oposto ao centro), então sua componente radial é .
Pela segunda lei radial (tomando positivo para cima, em direção ao centro):
Agora substituímos
. Calcule
:
Então
e
Passo 6
Agora calcule as razões pedidas usando os valores obtidos:
-
. -
. -
.
Logo: