Um objeto de massa m preso a um fio de comprimento L é posto para girar em um círculo vertical. O módulo da velocidade do objeto ao passar pelo ponto A é v e ao passar pelo ponto B é 3 v. Sabendo que o módulo da aceleração da gravidade local é g determine a diferença entre as tensões no fio nos pontos \mathrm{Be} \mathrm{A}\left(\mathrm{T}_{\mathrm{B}}-\mathrm{T}_{\mathrm{A}}\right). No ponto A , o fio forma um ângulo \theta com a vertical. (Faça o diagrama de corpo livre do objeto nos pontos A e B; expresse sua resposta em termos de v, m, \theta, L e g ).

Passo 1

  • Dados fornecidos (peguei estes valores da figura enviada): massa do objeto \,m, comprimento do fio \,L, aceleração da gravidade \,g.
  • No ponto A o fio faz ângulo \theta com a vertical e a velocidade é \,v_A=v.
  • No ponto B (o ponto inferior) a velocidade é \,v_B=3v.
  • Pedido: determinar a diferença entre as tensões nos pontos B e A, ou seja \,T_B - T_A, expressa em termos de \,v, m, \theta, L e \,g.

Passo 2

Desenho/diagrama de corpo livre (descrito): em ambos os pontos há duas forças atuando sobre a massa: a tensão do fio \vec{T} dirigida ao centro da trajetória e o peso \vec{P}=m\vec{g} dirigido para baixo.
  • No ponto A: decompondo o peso em componentes radial (para/contra o centro) e tangencial, a componente radial vale \,m g\cos\theta (essa é a projeção do peso na direção radial). A componente tangencial vale \,m g\sin\theta (não interessa para o equilíbrio radial).
  • No ponto B (embaixo): a componente radial do peso, na direção radial (que é vertical), vale simplesmente \,m g.

Passo 3

Conceito usado (explicação didática): para movimento circular uniforme (ou instantaneamente circular) a aceleração radial (centrípeta) tem módulo
a_{\text{rad}}=\frac{v^2}{R},
onde v é a velocidade escalar no ponto considerado e R é o raio da trajetória. Aqui o fio tem comprimento L, logo R=L. Essa aceleração aponta sempre em direção ao centro. Pela segunda lei de Newton, a soma das componentes das forças na direção radial (com sinal) é igual a m a_{\text{rad}}. Vamos aplicar isso em cada ponto.

Passo 4

Equação radial no ponto A: tome sentido positivo apontando para o centro. A tensão T_A aponta para o centro (contribuição positiva). A projeção do peso na direção radial é -m g\cos\theta se ela estiver apontando contra o centro (o sinal fica implícito na montagem da equação). Somando as forças (positivas para o centro) e igualando a m a_{\text{rad}} obtemos
T_A - m g\cos\theta = m\frac{v_A^2}{L}.
Isolando T_A,
T_A = m\frac{v_A^2}{L} + m g\cos\theta.

Passo 5

Substituímos v_A=v na expressão de T_A:
T_A = m\frac{v^2}{L} + m g\cos\theta.

Passo 6

Equação radial no ponto B (ponto inferior): novamente, sentido positivo para o centro (no fundo o centro está acima, então tensão aponta para cima). A tensão T_B aponta para o centro (positivo) e o peso age para baixo (contrário ao centro), portanto a soma das forças é
T_B - m g = m\frac{v_B^2}{L}.
Isolando T_B,
T_B = m\frac{v_B^2}{L} + m g.
Substituindo v_B=3v,
T_B = m\frac{(3v)^2}{L} + m g = m\frac{9v^2}{L} + m g.

Passo 7

Agora calculamos a diferença T_B - T_A. Substituindo as expressões encontradas:
T_B - T_A = \left(m\frac{9v^2}{L} + m g\right) - \left(m\frac{v^2}{L} + m g\cos\theta\right).
Agrupando termos semelhantes:
T_B - T_A = m\left(\frac{9v^2}{L}-\frac{v^2}{L}\right) + m\left(g - g\cos\theta\right).
Simplificando:
T_B - T_A = m\left(\frac{8v^2}{L}\right) + m g(1-\cos\theta).

Passo 8

Interpretação rápida e checagem: a diferença tem duas contribuições: uma vindas das diferenças nas necessidades centrípetas (a velocidade em B é maior, daí aparece o termo \frac{8m v^2}{L}) e outra proveniente da diferença das componentes radiais do peso entre os pontos ( m g(1-\cos\theta)). Dimensionalmente faz sentido: ambas as parcelas têm unidades de força.

Resposta

T_B - T_A = \frac{8 m v^2}{L} + m g\bigl(1-\cos\theta\bigr).

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