Um objeto de massa
preso a um fio de comprimento
é posto para girar em um círculo vertical. O módulo da velocidade do objeto ao passar pelo ponto A é
e ao passar pelo ponto
é
. Sabendo que o módulo da aceleração da gravidade local é
determine a diferença entre as tensões no fio nos pontos
. No ponto A , o fio forma um ângulo
com a vertical. (Faça o diagrama de corpo livre do objeto nos pontos A e B; expresse sua resposta em termos de
e
).
Passo 1
- Dados fornecidos (peguei estes valores da figura enviada): massa do objeto
, comprimento do fio , aceleração da gravidade . - No ponto
o fio faz ângulo com a vertical e a velocidade é . - No ponto
(o ponto inferior) a velocidade é . - Pedido: determinar a diferença entre as tensões nos pontos
e , ou seja , expressa em termos de e .
Passo 2
Desenho/diagrama de corpo livre (descrito): em ambos os pontos há duas forças atuando sobre a massa: a tensão do fio
dirigida ao centro da trajetória e o peso
dirigido para baixo.
- No ponto
: decompondo o peso em componentes radial (para/contra o centro) e tangencial, a componente radial vale (essa é a projeção do peso na direção radial). A componente tangencial vale (não interessa para o equilíbrio radial). - No ponto
(embaixo): a componente radial do peso, na direção radial (que é vertical), vale simplesmente .
Passo 3
Conceito usado (explicação didática): para movimento circular uniforme (ou instantaneamente circular) a aceleração radial (centrípeta) tem módulo
onde
é a velocidade escalar no ponto considerado e
é o raio da trajetória. Aqui o fio tem comprimento
, logo
. Essa aceleração aponta sempre em direção ao centro. Pela segunda lei de Newton, a soma das componentes das forças na direção radial (com sinal) é igual a
. Vamos aplicar isso em cada ponto.
Passo 4
Equação radial no ponto
: tome sentido positivo apontando para o centro. A tensão
aponta para o centro (contribuição positiva). A projeção do peso na direção radial é
se ela estiver apontando contra o centro (o sinal fica implícito na montagem da equação). Somando as forças (positivas para o centro) e igualando a
obtemos
Isolando
,
Passo 5
Substituímos
na expressão de
:
Passo 6
Equação radial no ponto
(ponto inferior): novamente, sentido positivo para o centro (no fundo o centro está acima, então tensão aponta para cima). A tensão
aponta para o centro (positivo) e o peso age para baixo (contrário ao centro), portanto a soma das forças é
Isolando
,
Substituindo
,
Passo 7
Agora calculamos a diferença
. Substituindo as expressões encontradas:
Agrupando termos semelhantes:
Simplificando:
Passo 8
Interpretação rápida e checagem: a diferença tem duas contribuições: uma vindas das diferenças nas necessidades centrípetas (a velocidade em
é maior, daí aparece o termo
) e outra proveniente da diferença das componentes radiais do peso entre os pontos (
). Dimensionalmente faz sentido: ambas as parcelas têm unidades de força.