4 O calor específico de ácido sulfúrico em um manual tem as unidades \mathrm{J} /\left[(\mathrm{g} \mathrm{mol})\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right)\right], sendo dado pela relação
\text { calor específico }=139,1+1,56 \times 10^{-1} \topí
em que T é expresso em graus Celsius. Modifique a fórmula, de modo que a expressão resultante forneça o calor específico com as unidades associadas de BTU/[(lb mol)( { }^{\circ} \mathrm{R} )] com T em graus Rankine.

Passo 1

O enunciado dá a relação do calor específico do ácido sulfúrico em unidades de \mathrm{J}/\left[(\mathrm{g\;mol})(^\circ\mathrm{C})\right]:
\text{calor específico} = 139{,}1 + 1{,}56\times 10^{-1}\,Tí
em que T está em graus Celsius ( {}^\circ\mathrm{C}).
Pede-se modificar a fórmula para que a expressão resultante forneça o calor específico em unidades \mathrm{BTU}/\left[(\mathrm{lb\;mol})(^\circ\mathrm{R})\right] com T em graus Rankine ( {}^\circ\mathrm{R}).

Passo 2

Vamos listar as conversões que precisamos aplicar (cada uma será explicada):
  1. conversão de energia: \mathrm{J} para \mathrm{BTU},
  2. conversão da unidade de quantidade de substância/massa-molar: \mathrm{g\;mol} para \mathrm{lb\;mol},
  3. conversão de escala de temperatura: escrever T em {}^\circ\mathrm{C} em função de T em {}^\circ\mathrm{R} e ajustar o fator por grau.

Passo 3

Converter energia: usamos a relação padrão
1\\ \mathrm{BTU} = 1055{,}05585262\\ \mathrm{J},
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1\\ \mathrm{J} = \frac{1}{1055{,}05585262}\\ \mathrm{BTU}.
Isso significa que, ao passar de \mathrm{J} para \mathrm{BTU}, multiplicamos por \dfrac{1}{1055{,}05585262}.

Passo 4

Converter \mathrm{g\;mol} para \mathrm{lb\;mol}: como 1\\ \mathrm{lb}=453{,}59237\\ \mathrm{g}, temos
1\\ \mathrm{lb\;mol}=453{,}59237\\ \mathrm{g\;mol}.
Se a constante está por \mathrm{g\;mol} e queremos por \mathrm{lb\;mol}, então a energia por \mathrm{lb\;mol} é a energia por 453{,}59237\\ \mathrm{g\;mol}. Ou seja, multiplicamos por 453{,}59237.

Passo 5

Converter o termo por grau: \,^\circ\mathrm{C} para \,^\circ\mathrm{R}. Relação entre escalas:
T_{R}=(T_{C}+273{,}15)\cdot\frac{9}{5}.
Para diferenças de temperatura (o que importa em um termo “por grau”), 1\\ ^\circ\mathrm{C} corresponde a \dfrac{9}{5}\\ ^\circ\mathrm{R}. Portanto, uma capacidade por ^\circ\mathrm{C} se converte para por ^\circ\mathrm{R} multiplicando-se por
\frac{\Delta T_{C}}{\Delta T_{R}}=\frac{1}{9/5}=\frac{5}{9}.
Intuição rápida: um grau Rankine é menor que um grau Celsius (em escala absoluta), então o valor numérico por grau Rankine será menor por um fator 5/9.

Passo 6

Juntando as três conversões: o fator multiplicativo global k que transforma
\frac{\mathrm{J}}{(\mathrm{g\;mol})(^\circ\mathrm{C})} \quad\text{em}\quad \frac{\mathrm{BTU}}{(\mathrm{lb\;mol})(^\circ\mathrm{R})}
é
k=\left(\frac{1}{1055{,}05585262}\right)\times(453{,}59237)\times\left(\frac{5}{9}\right).
Este k multiplica todo o lado direito da fórmula original (constante e coeficiente de T).

Passo 7

Substituir T_C por expressão em função de T_R. Da relação de escalas:
T_{C}=\frac{5}{9}T_{R}-273{,}15.
A fórmula original escrita com T_C explícito é
c_{J} = 139{,}1 + 0{,}156\,T_{C}.
Substituindo T_{C}:
c_{J} = 139{,}1 + 0{,}156\left(\frac{5}{9}T_{R}-273{,}15\right).

Passo 8

Fazendo as operações internas (primeiro simplificar o parêntese):
0{,}156\cdot\frac{5}{9}=0{,}086666\ldots= \frac{0{,}78}{9}=0{,}086\overline{6},
0{,}156\cdot 273{,}15 = 42{,}6114.
Logo
c_{J} = 139{,}1 + 0{,}086666\ldots\,T_{R} - 42{,}6114 = 96{,}4886 + 0{,}086666\ldots\,T_{R}.

Passo 9

Agora aplicamos o fator k para obter a expressão na nova unidade:
c_{R} = k\left(96{,}4886 + 0{,}086666\ldots\,T_{R}\right),
onde
k=\frac{453{,}59237\cdot 5}{9\cdot 1055{,}05585262}.
Calculando numericamente k (com as constantes dadas) obtemos
k\approx 0{,}2388459.
Multiplicando os termos:
k\cdot 96{,}4886 \approx 23{,}0459065,
k\cdot 0{,}086666\ldots \approx 0{,}02069998.

Passo 10

Portanto a fórmula na unidade pedida (com T em {}^\circ\mathrm{R}) fica, arredondando com algarismos razoáveis:
\boxed{c = 23{,}0459065 + 0{,}02069998\,T}
com c em \mathrm{BTU}/\left[(\mathrm{lb\;mol})(^\circ\mathrm{R})\right] e T em {}^\circ\mathrm{R}. Podemos também dar uma versão com menos casas:
c \approx 23{,}046 + 0{,}02070\,T\quad\left[\frac{\mathrm{BTU}}{(\mathrm{lb\;mol})(^\circ\mathrm{R})}\right].

Resposta

c = 23{,}0459065 + 0{,}02069998\,T\quad\left[\frac{\mathrm{BTU}}{(\mathrm{lb\;mol})(^\circ\mathrm{R})}\right],\\ T\\ \text{em}\\ {}^\circ\mathrm{R}

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