Um oscilador massa-mola tem
e coeficiente de amortecimento
.
(a) Determine a frequência angular amortecida
.
(b) Após quanto tempo a amplitude decai para metade do valor inicial?
(a) Determine a frequência angular amortecida
(b) Após quanto tempo a amplitude decai para metade do valor inicial?
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas.
Dados:
Perguntas:
- (a) Determinar a frequência angular amortecida
. - (b) Determinar após quanto tempo a amplitude decai para metade do valor inicial.
Passo 2
Equação do movimento e conceitos essenciais.
A equação do oscilador massa-mola com amortecimento viscoso é
onde
é a aceleração e
a velocidade. As quantidades importantes que usamos são:
- A frequência angular natural (sem amortecimento)
, definida por
Aqui,
tem unidade de
e indica a velocidade angular de oscilação no caso não amortecido.
- O coeficiente de amortecimento por unidade de massa, que vou chamar de
, definido por
Este
tem unidade de
e determina a taxa exponencial de decaimento da amplitude.
Para o caso subamortecido (quando
) a solução é uma oscilação modulada exponencialmente e a frequência angular efetiva das oscilações é a frequência amortecida
dada por
Passo 3
Calcular a frequência angular natural
.
Primeiro computamos
:
Então
Passo 4
Calcular o coeficiente
.
Passo 5
Verificar o regime (subamortecido) e escrever a fórmula para
.
Com
e
temos
, logo o sistema é subamortecido e a fórmula válida é
Passo 6
Calcular numericamente
.
Calculemos
e
:
Subtraindo,
Arredondando razoavelmente, podemos usar
.
Passo 7
Entender o decaimento da amplitude e montar a equação para o tempo pedido.
No regime subamortecido a solução típica é
onde
é a amplitude inicial. A envoltória da amplitude é
. Queremos o tempo
tal que a amplitude seja metade da inicial, isto é
Dividindo por
(assumindo
) obtemos
Passo 8
Resolver para
.
Tomando logaritmo natural em ambos os lados:
Logo
Passo 9
Calcular numericamente o tempo.
Usando
e
,
Arredondando,
.
Resposta
(a)
(b)
(b)