Um oscilador massa-mola tem \mathrm{m}=0,4 \mathrm{~kg}, \mathrm{k}=100 \mathrm{~N} / \mathrm{m} e coeficiente de amortecimento \mathrm{b}=1,2 \mathrm{kg} / \mathrm{s}.
(a) Determine a frequência angular amortecida \omega \mathrm{d}.
(b) Após quanto tempo a amplitude decai para metade do valor inicial?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas.
Dados:
m=0,4\\ \mathrm{kg},\qquad k=100\\ \mathrm{N/m},\qquad b=1,2\\ \mathrm{kg/s}.
Perguntas:
  1. (a) Determinar a frequência angular amortecida \omega_d.
  2. (b) Determinar após quanto tempo a amplitude decai para metade do valor inicial.

Passo 2

Equação do movimento e conceitos essenciais.
A equação do oscilador massa-mola com amortecimento viscoso é
m\ddot x + b\dot x + kx = 0,
onde \ddot x é a aceleração e \dot x a velocidade. As quantidades importantes que usamos são:
  • A frequência angular natural (sem amortecimento) \omega_0, definida por
\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}.
Aqui, \omega_0 tem unidade de \mathrm{rad/s} e indica a velocidade angular de oscilação no caso não amortecido.
  • O coeficiente de amortecimento por unidade de massa, que vou chamar de \gamma, definido por
\gamma=\frac{b}{2m}.
Este \gamma tem unidade de \mathrm{s^{-1}} e determina a taxa exponencial de decaimento da amplitude.
Para o caso subamortecido (quando \gamma<\omega_0) a solução é uma oscilação modulada exponencialmente e a frequência angular efetiva das oscilações é a frequência amortecida \omega_d dada por
\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}.

Passo 3

Calcular a frequência angular natural \omega_0.
Primeiro computamos \dfrac{k}{m}:
\frac{k}{m}=\frac{100}{0,4}=250.
Então
\omega_0=\sqrt{250}=5\sqrt{10}\approx 15{,}811388\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Calcular o coeficiente \gamma.
\gamma=\frac{b}{2m}=\frac{1{,}2}{2\cdot 0{,}4}=\frac{1{,}2}{0{,}8}=1{,}5\\ \mathrm{s^{-1}}.

Passo 5

Verificar o regime (subamortecido) e escrever a fórmula para \omega_d.
Com \gamma=1{,}5\\ \mathrm{s^{-1}} e \omega_0\approx 15{,}811\\ \mathrm{rad/s} temos \gamma<\omega_0, logo o sistema é subamortecido e a fórmula válida é
\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}.

Passo 6

Calcular numericamente \omega_d.
Calculemos \omega_0^2 e \gamma^2:
\omega_0^2=250,\qquad \gamma^2=(1{,}5)^2=2{,}25.
Subtraindo,
\omega_d=\sqrt{250-2{,}25}=\sqrt{247{,}75}\approx 15{,}737\\ \mathrm{rad/s}.
Arredondando razoavelmente, podemos usar \omega_d\approx 15{,}74\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 7

Entender o decaimento da amplitude e montar a equação para o tempo pedido.
No regime subamortecido a solução típica é
x(t)=A\,e^{-\gamma t}\cos\bigl(\omega_d t+\varphi\bigr),
onde A é a amplitude inicial. A envoltória da amplitude é A\,e^{-\gamma t}. Queremos o tempo t tal que a amplitude seja metade da inicial, isto é
A\,e^{-\gamma t}=\frac{A}{2}.
Dividindo por A (assumindo A\neq 0) obtemos
e^{-\gamma t}=\frac{1}{2}.

Passo 8

Resolver para t.
Tomando logaritmo natural em ambos os lados:
-\gamma t=\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=-\ln 2.
Logo
t=\frac{\ln 2}{\gamma}.

Passo 9

Calcular numericamente o tempo.
Usando \gamma=1{,}5\\ \mathrm{s^{-1}} e \ln 2\approx 0{,}693147,
t=\frac{0{,}693147}{1{,}5}\approx 0{,}462098\\ \mathrm{s}.
Arredondando, t\approx 0{,}462\\ \mathrm{s}.

Resposta

(a) \omega_d\approx 15{,}74\\ \mathrm{rad/s}
(b) t=\dfrac{\ln 2}{\gamma}\approx 0{,}462\\ \mathrm{s}

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