( 3^{\text {a }} Questão - 1,5 ponto)
Calcule \oint_{C}\left(x^{2}+y^{2}\right) d x+\left(x y^{2}\right) d y, onde C é a curva fechada definida por y=x^{2} e y=-x, -1 \leq x \leq 0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\oint_{C}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dx \;+\;\bigl(xy^{2}\bigr)\,dy
onde C é o contorno fechado da região limitada pelas curvas y=x^{2} e y=-x para -1\le x\le0.
Conteúdo: aplicaremos o Teorema de Green para transformar a integral de linha numa integral dupla sobre a região D.

Passo 2

Pelo Teorema de Green, se P(x,y)=x^{2}+y^{2} e Q(x,y)=x\,y^{2}, então
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy =\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.
Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\,y^{2}\bigr)=y^{2}, \qquad \frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)=2y.

Passo 3

O integrando fica
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =y^{2}-2y.

Passo 4

A região D é dada por
-1\le x\le0, \quad x^{2}\le y\le -x,
pois para cada x entre -1 e 0, a parábola y=x^{2} fica abaixo da reta y=-x.

Passo 5

Montamos a integral dupla:
\iint_{D}(y^{2}-2y)\,dA =\int_{x=-1}^{0}\Bigl[\int_{y=x^{2}}^{-x}(y^{2}-2y)\,dy\Bigr]dx.
Calculemos a integral interna:
\int(y^{2}-2y)\,dy =\frac{y^{3}}{3}-y^{2},
avaliada de y=x^{2} até y=-x:
\Bigl(\frac{(-x)^{3}}{3}-(-x)^{2}\Bigr) -\Bigl(\frac{(x^{2})^{3}}{3}-(x^{2})^{2}\Bigr) =-\frac{x^{3}}{3}-x^{2} -\frac{x^{6}}{3}+x^{4}.

Passo 6

Agora integramos em x:
\int_{-1}^{0}\Bigl(-\tfrac{x^{6}}{3}-\tfrac{x^{3}}{3}-x^{2}+x^{4}\Bigr)dx =\Bigl[-\frac{x^{7}}{21}-\frac{x^{4}}{12}-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}\Bigr]_{-1}^{0}.
Em x=0 0. Em x=-1 obtemos
-\frac{(-1)^{7}}{21}-\frac{(-1)^{4}}{12}-\frac{(-1)^{3}}{3}+\frac{(-1)^{5}}{5} =\frac{1}{21}-\frac{1}{12}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5} =\frac{41}{420}.
Portanto a integral dupla vale
0-\frac{41}{420}=-\frac{41}{420}.

Resposta

-\frac{41}{420}.

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