Um bloco de
oscila para frente e para trás, ao longo de uma linha reta, numa superfície horizontal sem atrito. Seu deslocamento a partir da origem é dado por
. (a) Qual a frequência da oscilação? (b) Qual a velocidade máxima alcançada pelo bloco? Em que valor de
isto acontece? © Qual a aceleração máxima do bloco? Em que valor de
isto ocorre? (d) Qual é a força restauradora aplicada no bloco?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos conta que um bloco de 10 kg está oscilando para frente e para trás numa superfície sem atrito, com o deslocamento dado por $ x(t) = 0,1 \cos(10t) $ metros. Vamos precisar de conceitos de Movimento Harmônico Simples (MHS), como frequência, velocidade máxima, aceleração máxima e força restauradora, além das fórmulas correspondentes para resolver as partes (a) a (d).
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir a frequência da oscilação. No MHS, a função de deslocamento é geralmente escrita como $ x(t) = A \cos(\omega t) $, onde $ \omega $ é a frequência angular. No nosso caso, $ \omega = 10 $ rad/s.
A frequência $ f $ está relacionada à frequência angular pela fórmula:
Passo 3
Substituindo $ \omega = 10 $ rad/s na fórmula:
Passo 4
Próxima parte: qual a velocidade máxima alcançada pelo bloco e em qual posição $ x $ isso ocorre?
A velocidade no MHS é dada pela derivada do deslocamento:
A velocidade máxima $ v_{max} $ ocorre quando $ \sin(\omega t) = \pm 1 $, então:
Passo 5
Substituindo $ A = 0,1 $ m e $ \omega = 10 $ rad/s:
A velocidade máxima ocorre na posição de equilíbrio, ou seja, quando $ x = 0 $ m.
Passo 6
Agora, a aceleração máxima do bloco e em que posição $ x $ isso acontece.
A aceleração no MHS é a derivada da velocidade:
A aceleração máxima $ a_{max} $ ocorre quando $ \cos(\omega t) = \pm 1 $, então:
Passo 7
Substituindo $ A = 0,1 $ m e $ \omega = 10 $ rad/s:
A aceleração máxima ocorre nas posições extremas do movimento, ou seja, quando $ x = \pm 0,1 $ m.
Passo 8
Por último, vamos calcular a força restauradora aplicada no bloco.
No MHS, a força restauradora é dada por:
onde $ m $ é a massa e $ a $ é a aceleração.
A força restauradora máxima $ F_{max} $ ocorre com a aceleração máxima:
Passo 9
Substituindo $ m = 10 $ kg e $ a_{max} = 10 $ m/s²:
Resposta
(a) A frequência da oscilação é aproximadamente $ 1,59 , Hz $.
(b) A velocidade máxima do bloco é $ 1 , m/s $ e ocorre na posição $ x = 0 , m $.
© A aceleração máxima do bloco é $ 10 , m/s² $ e ocorre nas posições $ x = \pm 0,1 , m $.
(d) A força restauradora aplicada no bloco é $ 100 , N $.