Dada a matriz
, com x e y reais, pedem-se: a) os valores da
e y para que se tenha
;
21b
Dada a matriz
, com x e y reais, pedem-se: b) a matriz
, nas condições do item (a).
21b
Dada a matriz
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz quadrada 2x2 chamada
, que é dada por:
O que a gente precisa fazer aqui é:
- Item a) Encontrar os valores de
e para que o quadrado dessa matriz, ou seja, , seja igual à matriz identidade 2x2, . - Item b) Sabendo os valores de
e encontrados no item a), calcular a matriz .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de multiplicação de matrizes e propriedades das matrizes identidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa elevar a matriz
ao quadrado. Isso significa multiplicar a matriz
por ela mesma:
Agora, vamos lembrar como multiplicar duas matrizes 2x2. A multiplicação resulta em uma nova matriz onde cada elemento é a soma dos produtos correspondentes das linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda matriz.
Passo 3
Vamos calcular cada elemento de
:
- Elemento (1,1):
- Elemento (1,2):
- Elemento (2,1):
- Elemento (2,2):
Portanto, a matriz
fica:
Passo 4
Queremos que
seja igual à matriz identidade 2x2, que é:
Isso significa que cada elemento correspondente das duas matrizes deve ser igual. Então, vamos igualar os elementos:
Passo 5
Vamos resolver as equações uma por uma.
Equação 2:
Agora que temos
, vamos usar esse valor nas outras equações.
Equação 4:
Equação 3:
Como já achamos que , não precisamos resolver essa equação, mas vamos verificar:
Como já achamos que
Equação 1:
Com e
:
Com
Passo 6
Então, encontramos que os valores que satisfazem
são:
Passo 7
Agora que encontramos
e
, precisamos calcular
. Mas antes, vamos entender como podemos simplificar esse cálculo.
Passo 8
Observando que
, onde
é a matriz identidade, temos uma propriedade interessante: multiplicar qualquer potência pares de
resulta na identidade, e potências ímpares resultam na própria
.
Isso porque:
-
-
-
- E assim por diante…
Passo 9
Para encontrar
, vamos ver se 17 é par ou ímpar. Como 17 é ímpar, podemos expressar 17 como
.
Então:
Passo 10
Portanto,
é igual à própria matriz
. Sabemos que, com
e
, a matriz
é:
Resposta
b) A matriz
é igual a
: