Dada a matriz P=[llx & 5 y & 1], com x e y reais, pedem-se: a) os valores da x e y para que se tenha P^2=I(2);
21b
Dada a matriz P=[llx & 5 y & 1], com x e y reais, pedem-se: b) a matriz P^17, nas condições do item (a).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz quadrada 2x2 chamada P, que é dada por:
P = x & 5 y & 1
O que a gente precisa fazer aqui é:
  • Item a) Encontrar os valores de x e y para que o quadrado dessa matriz, ou seja, P^2, seja igual à matriz identidade 2x2, I2.
  • Item b) Sabendo os valores de x e y encontrados no item a), calcular a matriz P^17.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de multiplicação de matrizes e propriedades das matrizes identidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa elevar a matriz P ao quadrado. Isso significa multiplicar a matriz P por ela mesma:
P^2 = P times P = x & 5 y & 1 times x & 5 y & 1
Agora, vamos lembrar como multiplicar duas matrizes 2x2. A multiplicação resulta em uma nova matriz onde cada elemento é a soma dos produtos correspondentes das linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda matriz.

Passo 3

Vamos calcular cada elemento de P^2:
  • Elemento (1,1): (1,1) = x times x + 5 times y = x^2 + 5y
  • Elemento (1,2): (1,2) = x times 5 + 5 times 1 = 5x + 5
  • Elemento (2,1): (2,1) = y times x + 1 times y = xy + y = y(x + 1)
  • Elemento (2,2): (2,2) = y times 5 + 1 times 1 = 5y + 1
Portanto, a matriz P^2 fica:
P^2 = x^2 + 5y & 5x + 5 y(x + 1) & 5y + 1

Passo 4

Queremos que P^2 seja igual à matriz identidade 2x2, que é:
I2 = 1 & 0 0 & 1
Isso significa que cada elemento correspondente das duas matrizes deve ser igual. Então, vamos igualar os elementos:
  1. x^2 + 5y = 1
  2. 5x + 5 = 0
  3. y(x + 1) = 0
  4. 5y + 1 = 1

Passo 5

Vamos resolver as equações uma por uma.
Equação 2:
5x + 5 = 0 5x = -5 x = -1
Agora que temos x = -1, vamos usar esse valor nas outras equações.
Equação 4:
5y + 1 = 1 5y = 0 y = 0
Equação 3:
Como já achamos que y = 0, não precisamos resolver essa equação, mas vamos verificar:
y(x + 1) = 0 0 times (-1 + 1) = 0 times 0 = 0 (Verdade)
Equação 1:
Com x = -1 e y = 0:
x^2 + 5y = (-1)^2 + 5 times 0 = 1 + 0 = 1 (Confere com a igualdade)

Passo 6

Então, encontramos que os valores que satisfazem P^2 = I2 são:
x = -1 y = 0

Passo 7

Agora que encontramos x = -1 e y = 0, precisamos calcular P^17. Mas antes, vamos entender como podemos simplificar esse cálculo.

Passo 8

Observando que P^2 = I2, onde I2 é a matriz identidade, temos uma propriedade interessante: multiplicar qualquer potência pares de P resulta na identidade, e potências ímpares resultam na própria P.
Isso porque:
  • P^2 = I2
  • P^3 = P^2 times P = I2 times P = P
  • P^4 = P^2 times P^2 = I2 times I2 = I2
  • E assim por diante…

Passo 9

Para encontrar P^17, vamos ver se 17 é par ou ímpar. Como 17 é ímpar, podemos expressar 17 como 2 times 8 + 1.
Então:
P^17 = P^2 times 8 + 1 = (P^2)^8 times P = (I2)^8 times P = I2 times P = P

Passo 10

Portanto, P^17 é igual à própria matriz P. Sabemos que, com x = -1 e y = 0, a matriz P é:
P = -1 & 5 0 & 1

Resposta

b) A matriz P^17 é igual a P:
P^17 = -1 & 5 0 & 1

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