Um corpo de 2,0 k g oscila, preso a certa mola de constante de força k=4 0 0 N / m. A constante de atrito tem valor b= 2,0 kg / s. O sistema é excitado por uma força senoidal cujo valor máximo é de 1 0 N e frequência angular omega=10 rad / s. (a) Qual a amplitude da oscilação? (b) Se a frequência de excitação variar, em que frequência ocorrerá a ressonância? © Qual a amplitude das oscilações na ressonância? (d) Qual a largura De da curva de ressonância? e) Calcule o fator de qualidade. [Considerar sistema fracamente amortecido] Resp.: a) 0 , 0 5 m; b) 1 4 , 1 4 r a d / s ; c ) 0 , 3 5 m; d) 1 , 0 r a d / s; e) 1 4 , 1 4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de física envolvendo um corpo oscilando preso a uma mola. O enunciado nos dá algumas informações: massa do corpo ( 2,0, kg), constante da mola ( k = 400, N/m), constante de atrito ( b = 2,0, kg/s), e uma força senoidal que está agindo sobre o sistema com uma força máxima de 10, N e frequência angular omega = 10, rad/s. Vamos usar conceitos de oscilações forçadas com amortecimento para resolver as partes do exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é amplitude da oscilação. A amplitude ( A) é o quanto o sistema oscila em resposta à força aplicada. Para calcular isso, usamos a fórmula da amplitude para um sistema massa-mola com amortecimento:
A = F0raiz(k - momega^2)^2 + (bomega)^2
Aqui, F0 é a força máxima, k é a constante da mola, m é a massa, b é a constante de atrito, e omega é a frequência angular da força aplicada.

Passo 3

Vamos substituir os valores que temos na fórmula:
F0 = 10, N
k = 400, N/m
m = 2,0, kg
b = 2,0, kg/s
omega = 10, rad/s
Substituindo esses valores:
A = 10raiz(400 - 2 times 10^2)^2 + (2 times 10)^2 = 10raiz(400 - 200)^2 + 20^2 = 10raiz200^2 + 400

Passo 4

Calculando dentro da raiz:
200^2 = 40000
20^2 = 400
40000 + 400 = 40400
Então:
A = 10raiz40400 approx 10201 approx 0,05, m

Passo 5

A resposta para a letra (a) é a amplitude da oscilação:
a) 0,05, m

Passo 6

Agora, vamos para a letra (b): qual é a frequência angular omega que causa ressonância no sistema?
A ressonância ocorre quando a frequência de excitação faz com que a amplitude das oscilações seja máxima. A condição para ressonância em um sistema amortecido é dada por:
omegaress = raizkm - b^22m^2

Passo 7

Vamos substituir os valores na fórmula:
k = 400, N/m
m = 2,0, kg
b = 2,0, kg/s
omegaress = raiz4002 - 2^22 times 2^2 = raiz200 - 48 = raiz200 - 0,5 = raiz199,5 approx 14,1, rad/s

Passo 8

Então, a frequência angular de ressonância é aproximadamente 14,1, rad/s.
b) 14,1, rad/s

Passo 9

Vamos para a letra ©: qual a amplitude das oscilações na ressonância?
Na ressonância, a amplitude máxima Aress é dada por:
Aress = F0b omegaressraizk/m
Mas uma forma mais simples, considerando a frequência de ressonância encontrada, é usar a fórmula da amplitude com omega = omegaress.
Usando a fórmula:
A = F0b omegaress

Passo 10

Substituindo os valores:
F0 = 10, N
b = 2,0, kg/s
omegaress approx 14,1, rad/s
Aress = 102 times 14,1 approx 1028,2 approx 0,355, m
Arredondando, 0,35, m.
c) 0,35, m

Passo 11

Agora, a letra (d): qual a largura De da curva de ressonância?
A largura da ressonância indica o quão “estreita” é a curva de amplitude em torno da frequência de ressonância. A fórmula para De é:
De

Passo 12

Substituindo os valores:
b = 2,0, kg/s
m = 2,0, kg
De
d) 1,0, rad/s

Passo 13

Por fim, a letra (e): calcular o fator de qualidade Q.
O fator de qualidade é uma medida de quão “apertada” é a ressonância, e é dado por:
Q = omegaressDe

Passo 14

Usando os valores que já calculamos:
omegaress approx 14,1, rad/s
De
Q = 14,11,0 = 14,1
Arredondando, 14,1.
e) 14,1

Resposta

a) 0,05, m;
b) 14,1, rad/s;
c) 0,35, m;
d) 1,0, rad/s;
e) 14,1

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