Um corpo de
oscila, preso a certa mola de constante de força
. A constante de atrito tem valor
. O sistema é excitado por uma força senoidal cujo valor máximo é de
e frequência angular
. (a) Qual a amplitude da oscilação? (b) Se a frequência de excitação variar, em que frequência ocorrerá a ressonância? © Qual a amplitude das oscilações na ressonância? (d) Qual a largura
da curva de ressonância? e) Calcule o fator de qualidade. [Considerar sistema fracamente amortecido] Resp.: a)
; b)
; d)
; e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de física envolvendo um corpo oscilando preso a uma mola. O enunciado nos dá algumas informações: massa do corpo (
), constante da mola (
), constante de atrito (
), e uma força senoidal que está agindo sobre o sistema com uma força máxima de
e frequência angular
. Vamos usar conceitos de oscilações forçadas com amortecimento para resolver as partes do exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é amplitude da oscilação. A amplitude (
) é o quanto o sistema oscila em resposta à força aplicada. Para calcular isso, usamos a fórmula da amplitude para um sistema massa-mola com amortecimento:
Aqui,
é a força máxima,
é a constante da mola,
é a massa,
é a constante de atrito, e
é a frequência angular da força aplicada.
Passo 3
Vamos substituir os valores que temos na fórmula:
Substituindo esses valores:
Passo 4
Calculando dentro da raiz:
Então:
Passo 5
A resposta para a letra (a) é a amplitude da oscilação:
a)
Passo 6
Agora, vamos para a letra (b): qual é a frequência angular
que causa ressonância no sistema?
A ressonância ocorre quando a frequência de excitação faz com que a amplitude das oscilações seja máxima. A condição para ressonância em um sistema amortecido é dada por:
Passo 7
Vamos substituir os valores na fórmula:
Passo 8
Então, a frequência angular de ressonância é aproximadamente
.
b)
Passo 9
Vamos para a letra ©: qual a amplitude das oscilações na ressonância?
Na ressonância, a amplitude máxima
é dada por:
Mas uma forma mais simples, considerando a frequência de ressonância encontrada, é usar a fórmula da amplitude com
.
Usando a fórmula:
Passo 10
Substituindo os valores:
Arredondando,
.
c)
Passo 11
Agora, a letra (d): qual a largura
da curva de ressonância?
A largura da ressonância indica o quão “estreita” é a curva de amplitude em torno da frequência de ressonância. A fórmula para
é:
Passo 12
Substituindo os valores:
d)
Passo 13
Por fim, a letra (e): calcular o fator de qualidade
.
O fator de qualidade é uma medida de quão “apertada” é a ressonância, e é dado por:
Passo 14
Usando os valores que já calculamos:
Arredondando,
.
e)
Resposta
a)
;
b) ;
c) ;
d) ;
e)
b)
c)
d)
e)