Boa Prova
Questão 1: Nitrogênio líquido a 77 K é armazenado em um recipiente ciíndrico recipiente com diâmetro interno de 25 cm . O cilindro é feito de aço inoxidável e tem uma espessura de parede de
. O isolamento deve ser adicionado à superfície externa do cilindro para reduzir a taxa de ebulição de nitrogênio para
de seu valor sem isolamento. O isolamento a ser utilizado tem uma condutividade térmica de
. Perda de energia através as extremidades superior e inferior do cilindro são insignificantes. Desprezando os efeitos da radiação, determine uma expressão para representar a espessura do isolamento quando a superfície interna do cilindro está em 77 K , o coeficiente de transferência de calor por convecção na superfície de isolamento tem um valor de
, e o ar circundante está a
.
Passo 1
Então, galera, vamos lá! A gente tem um exercício de transferência de calor envolvendo um cilindro que armazena nitrogênio líquido a 77 K. O cilindro tem um diâmetro interno de 25 cm e paredes de aço inoxidável com 1,2 cm de espessura. A ideia é adicionar um isolamento na parte externa para reduzir a taxa de ebulição do nitrogênio para 25% do que seria sem isolamento. Para resolver isso, vamos precisar aplicar conceitos de condução e convecção de calor, além de usar algumas fórmulas matemáticas para calcular a espessura do isolamento necessário.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa reduzir a taxa de ebulição para 25% do valor original. Isso quer dizer que queremos que a perda de calor com o isolamento seja apenas um quarto da perda sem o isolamento. Para isso, precisamos calcular a perda de calor sem o isolamento e depois encontrar a espessura do isolamento que reduz essa perda para 25%.
Passo 3
Vamos começar calculando a área da superfície externa do cilindro. O diâmetro interno é de 25 cm, então o raio interno $ r_i $ é de 12,5 cm ou 0,125 m. A espessura da parede é de 1,2 cm, então o raio externo $ r_e $ do aço é:
Passo 4
Agora, considerando apenas o aço inoxidável sem isolamento, precisamos calcular a taxa de transferência de calor por condução através das paredes do cilindro. A fórmula para condução de calor através de um cilindro é:
Onde:
- $ Q $ é a taxa de transferência de calor.
- $ L $ é o comprimento do cilindro (não fornecido, mas vamos considerar por unidade de comprimento).
- $ k $ é a condutividade térmica do aço inoxidável.
- $ \Delta T $ é a diferença de temperatura entre o interior e o ambiente.
Passo 5
Como não temos o valor de $ L $ nem de $ k $, vamos simplificar e assumir que estamos trabalhando por unidade de comprimento e que a contribuição do aço inoxidável é parte da resistência térmica total. Porém, para focar no isolamento, podemos considerar que a principal resistência será do isolamento.
Passo 6
Agora, queremos que a taxa de transferência de calor com o isolamento seja 25% da taxa sem isolamento. Então, a resistência térmica total com isolamento $ R_{total} $ deve ser 4 vezes a resistência sem isolamento $ R_{sem,isolation} $:
A resistência térmica do isolamento $ R_{isolation} $ é a diferença:
Passo 7
A resistência térmica para condução através de um cilindro é dada por:
Queremos encontrar a espessura $ \delta $ do isolamento, então o novo raio externo será $ r_o = r_e + \delta $.
Passo 8
Igualando a resistência térmica do isolamento a 3 vezes a resistência sem isolamento:
Simplificando $ L $ e reorganizando:
Passo 9
Considerando que a principal resistência é do isolamento e a condutividade térmica do aço é muito maior, podemos simplificar assumindo $ k_{sem,isolation} $ negligible, então a equação fica:
Desculpe, houve um erro na simplificação anterior. Vamos reavaliar.
Passo 10
Na verdade, para resistências térmicas em série, a resistência total é a soma das resistências individuais. Então:
Queremos $ R_{total} = 4 R_{aço} $, logo:
Então, usando a fórmula da resistência térmica para ambos:
Simplificando $ 2 \pi L $:
Passo 11
Isolando $ \delta $:
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Então:
Passo 12
Finalmente, substituindo os valores conhecidos:
- $ r_e = 0,137, m $
- $ r_i = 0,125, m $
- $ k_{isolation} = 0,13, W/mK $
- $ k_{aço} $ (assumindo valor típico para aço inoxidável, cerca de $ 16 ,W/mK $)
Substituindo na expressão:
Resposta
A espessura do isolamento necessária é dada por: