Determine as componentes esféricas do vetor de P(2,-3,4) a Q(-3,2,5).

Passo 1

O enunciado dá dois pontos no espaço e pede as componentes esféricas do vetor que vai de P até Q. Informações dadas:
P=(2,-3,4),\qquad Q=(-3,2,5).
Pergunta que precisamos responder: quais são as componentes esféricas (isto é, os componentes do vetor na base \{\hat e_r,\hat e_\theta,\hat e_\varphi\} avaliadas em P) do vetor que vai de P a Q.

Passo 2

Primeiro vamos achar o vetor em coordenadas cartesianas. O vetor de P a Q é \overrightarrow{PQ}=Q-P. Calculamos componente a componente:
\overrightarrow{PQ}=(-3-2,\;2-(-3),\;5-4)=(-5,\;5,\;1).
Vou chamar esse vetor de \mathbf{v} = (-5,5,1) (em coordenadas cartesianas).

Passo 3

Agora explico a convenção de coordenadas esféricas que vou usar (a mais comum em física/engenharia):
  • \,r é a distância ao origem.
  • \,\theta é o ângulo polar, medido a partir do eixo z positivo (ou seja, 0\le\theta\le\pi).
  • \,\varphi é o ângulo azimutal no plano xy medido a partir do eixo x positivo (ou seja, 0\le\varphi<2\pi).
Os vetores unitários associados são (em coordenadas cartesianas)
\hat e_r=(\sin\theta\cos\varphi,\;\sin\theta\sin\varphi,\;\cos\theta),
\hat e_\theta=(\cos\theta\cos\varphi,\;\cos\theta\sin\varphi,\;-\sin\theta),
\hat e_\varphi=(-\sin\varphi,\;\cos\varphi,\;0).
Para obter as componentes esféricas do vetor \mathbf{v} avaliadas em P calculamos os produtos escalares
v_r=\mathbf{v}\cdot\hat e_r,\qquad v_\theta=\mathbf{v}\cdot\hat e_\theta,\qquad v_\varphi=\mathbf{v}\cdot\hat e_\varphi,
usando \hat e_* avaliados nas coordenadas esféricas de P.

Passo 4

Calculo as coordenadas esféricas (necessárias para calcular \hat e_*) do ponto P=(2,-3,4).
Distância ao origem:
r=\sqrt{2^2+(-3)^2+4^2}=\sqrt{4+9+16}=\sqrt{29}.
Projeção no plano xy:
\rho=\sqrt{2^2+(-3)^2}=\sqrt{13}.
Com isso
\cos\theta=\frac{z}{r}=\frac{4}{\sqrt{29}},\qquad \sin\theta=\frac{\rho}{r}=\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{29}}.
Para \varphi usamos as razões no plano xy. Em vez de usar arctan explicitamente, é mais prático obter seno e cosseno:
\cos\varphi=\frac{x}{\rho}=\frac{2}{\sqrt{13}},\qquad \sin\varphi=\frac{y}{\rho}=\frac{-3}{\sqrt{13}}.

Passo 5

Agora escrevo os vetores unitários em forma numérica usando os valores acima.
Primeiro \hat e_r:
\hat e_r=\big(\sin\theta\cos\varphi,\;\sin\theta\sin\varphi,\;\cos\theta\big) =\left(\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{29}}\cdot\frac{2}{\sqrt{13}},\;\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{29}}\cdot\frac{-3}{\sqrt{13}},\;\frac{4}{\sqrt{29}}\right) =\left(\frac{2}{\sqrt{29}},\;-\frac{3}{\sqrt{29}},\;\frac{4}{\sqrt{29}}\right).
(Aqui aparece a intuição: \hat e_r é simplesmente o vetor posição de P dividido por r.)
Agora \hat e_\theta:
\hat e_\theta=\big(\cos\theta\cos\varphi,\;\cos\theta\sin\varphi,\;-\sin\theta\big) =\left(\frac{4}{\sqrt{29}}\cdot\frac{2}{\sqrt{13}},\;\frac{4}{\sqrt{29}}\cdot\frac{-3}{\sqrt{13}},\;-\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{29}}\right).
Podemos escrever os dois primeiros componentes com um denominador comum \sqrt{29}\sqrt{13}:
\hat e_\theta=\left(\frac{8}{\sqrt{29}\sqrt{13}},\;-\frac{12}{\sqrt{29}\sqrt{13}},\;-\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{29}}\right).
Finalmente \hat e_\varphi:
\hat e_\varphi=\big(-\sin\varphi,\;\cos\varphi,\;0\big) =\left(-\frac{-3}{\sqrt{13}},\;\frac{2}{\sqrt{13}},\;0\right) =\left(\frac{3}{\sqrt{13}},\;\frac{2}{\sqrt{13}},\;0\right).

Passo 6

Calculo agora as componentes esféricas fazendo produtos escalares \mathbf{v}\cdot\hat e_*, com \mathbf{v}=(-5,5,1).
Para v_r:
v_r=\mathbf{v}\cdot\hat e_r =(-5)\frac{2}{\sqrt{29}}+5\left(-\frac{3}{\sqrt{29}}\right)+1\frac{4}{\sqrt{29}} =\frac{-10-15+4}{\sqrt{29}} =\frac{-21}{\sqrt{29}}.
Para v_\theta:
v_\theta=\mathbf{v}\cdot\hat e_\theta =(-5)\frac{8}{\sqrt{29}\sqrt{13}}+5\left(-\frac{12}{\sqrt{29}\sqrt{13}}\right)+1\left(-\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{29}}\right).
Colocando tudo sobre o mesmo denominador \sqrt{29}\sqrt{13} temos
v_\theta=\frac{-40-60-13}{\sqrt{29}\sqrt{13}}=\frac{-113}{\sqrt{29}\sqrt{13}}=\frac{-113}{\sqrt{377}}.
(Usei \sqrt{29}\sqrt{13}=\sqrt{377}.)
Para v_\varphi:
v_\varphi=\mathbf{v}\cdot\hat e_\varphi =(-5)\frac{3}{\sqrt{13}}+5\frac{2}{\sqrt{13}}+1\cdot 0 =\frac{-15+10}{\sqrt{13}}=\frac{-5}{\sqrt{13}}.

Passo 7

(Verificação rápida — opcional mas didática)
Se você reconstruir \mathbf{v}=v_r\hat e_r+v_\theta\hat e_\theta+v_\varphi\hat e_\varphi usando os valores obtidos, as componentes cartesianas retornam para (-5,5,1). Isso confirma que os cálculos estão consistentes.

Resposta

\displaystyle v_r=-\frac{21}{\sqrt{29}}
\displaystyle v_\theta=-\frac{113}{\sqrt{377}}
\displaystyle v_\varphi=-\frac{5}{\sqrt{13}}

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