Uma bobina com 150 espiras está submetida a um fluxo magnético de 50 \mathrm{nT} \cdot \mathrm{m}^{2} através de cada espira quando a corrente é 2,0 \mathrm{~mA}. (a) Qual é a indutância da bobina? Determine (b) a indutância e (c) o fluxo através de cada espira quando a corrente aumenta para 4,0 \mathrm{~mA}. (d) Qual é a força eletromotriz máxima \mathscr{E} entre os terminais da bobina quando a corrente é dada por i=(3,0 \mathrm{~mA}) \cos (377 t), com t em segundos? (ref. Exercício 90 - Cap. 30-8{ }^{a} ed)

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas e nos dá dados claros. Vou listar as perguntas e os dados fornecidos (tudo estritamente do enunciado):
Perguntas:
  • (a) Qual é a indutância da bobina?
  • (b) Determine a indutância quando a corrente aumenta para 4,0\\ \mathrm{mA}.
  • (c) Determine o fluxo através de cada espira quando a corrente é 4,0\\ \mathrm{mA}.
  • (d) Qual é a força eletromotriz máxima \mathscr{E} entre os terminais da bobina quando \displaystyle i=(3,0\\ \mathrm{mA})\cos(377t)?
Dados fornecidos:
  • Número de espiras: N=150.
  • Fluxo através de cada espira quando a corrente é 2,0\\ \mathrm{mA}: \Phi_1 = 50\\ \mathrm{nT\cdot m^{2}}. Vou interpretar isso como fluxo magnético por espira \Phi_1 = 50\times10^{-9}\\ \mathrm{Wb} (pois \mathrm{Wb}= \mathrm{T\cdot m^{2}}).
  • Corrente correspondente a esse fluxo: i_1=2,0\\ \mathrm{mA} = 2,0\times10^{-3}\\ \mathrm{A}.
  • Nova corrente para (b) e (c): i_2=4,0\\ \mathrm{mA} = 4,0\times10^{-3}\\ \mathrm{A}.
  • Corrente variável do item (d): i(t)=(3,0\\ \mathrm{mA})\cos(377t).
Observação: não vou resolver nada ainda, apenas listei as perguntas e os dados.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando bem passo a passo, sem pular etapas):
  • Fluxo por espira: \Phi é o fluxo magnético que atravessa uma espira, com unidade \mathrm{Wb} (weber). Quando há N espiras, define-se a ligação de fluxo (flux linkage) \lambda como \lambda = N\Phi. Isso reúne o efeito de todas as espiras numa única grandeza.
  • Indutância L: para sistemas lineares (quando o fluxo é proporcional à corrente) a indutância relaciona a ligação de fluxo com a corrente por
\lambda = L\,i.
Ou seja,
L = \frac{\lambda}{i} = \frac{N\Phi}{i}.
Aqui cada símbolo significa:
\lambda = ligação de fluxo (Wb·espira), L = indutância (H), N = número de espiras (adimensional), \Phi = fluxo por espira (Wb), i = corrente (A).
  • Força eletromotriz induzida \mathscr{E}: a lei de Faraday diz que a fem instantânea é a variação temporal da ligação de fluxo (com sinal menos):
\mathscr{E} = -\frac{d\lambda}{dt} = -\frac{d}{dt}(L\,i).
Se L é constante (sistema linear), isso vira
\mathscr{E} = -L\,\frac{di}{dt}.
A amplitude máxima de \mathscr{E} será L vezes a amplitude máxima de |di/dt|.
Agora aplicamos essas fórmulas com os dados do problema.

Passo 3

Cálculo da indutância usando os valores iniciais (item (a)):
Usamos
L = \frac{N\Phi_1}{i_1}.
Substituindo numericamente (mostrando cada etapa de conta):
N\Phi_1 = 150 \times (50\times10^{-9}\\ \mathrm{Wb}) = 150\times50\times10^{-9}\\ \mathrm{Wb}.
Calcule 150\times50 = 7500, então
N\Phi_1 = 7500\times10^{-9}\\ \mathrm{Wb} = 7{,}5\times10^{-6}\\ \mathrm{Wb}.
Agora divida por i_1 = 2{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{A}:
L = \frac{7{,}5\times10^{-6}}{2{,}0\times10^{-3}}\\ \mathrm{H}.
Faço a divisão separando potências de 10:
\frac{7{,}5}{2{,}0}\times10^{-6 -(-3)}=\;3{,}75\times10^{-3}\\ \mathrm{H}.
Em unidades mais usuais,
L = 3{,}75\\ \mathrm{mH}.

Passo 4

Item (b): indutância quando a corrente aumenta para 4{,}0\\ \mathrm{mA}.
Explicação: em um circuito linear com núcleo e geometria fixos (o que o enunciado implica), a indutância L não depende da corrente — ela é uma propriedade geométrica e do núcleo. Como o enunciado não indica saturação ou não linearidade, assumimos linearidade. Portanto:
L\\ (\text{para } i_2=4{,}0\\ \mathrm{mA}) = 3{,}75\\ \mathrm{mH}.
(Se tentasse calcular com a fórmula L=N\Phi/i usando o novo i precisaria conhecer o novo \Phi; mas a linearidade garante que \Phi muda proporcionalmente a i de modo que L permanece o mesmo.)

Passo 5

Item (c): fluxo através de cada espira quando i_2=4{,}0\\ \mathrm{mA}.
Podemos usar proporcionalidade direta (dobrou a corrente → dobra o fluxo) ou a fórmula
\Phi_2 = \frac{L\,i_2}{N}.
Uso a fórmula para mostrar contas:
L\,i_2 = 3{,}75\times10^{-3}\\ \mathrm{H}\times 4{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{A} = (3{,}75\times4{,}0)\times10^{-6}\\ \mathrm{Wb}.
Calcule 3{,}75\times4{,}0 = 15{,}0, então
L\,i_2 = 15{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{Wb} = 1{,}5\times10^{-5}\\ \mathrm{Wb}.
Dividindo por N=150:
\Phi_2 = \frac{1{,}5\times10^{-5}}{150}\\ \mathrm{Wb} = 1{,}0\times10^{-7}\\ \mathrm{Wb}.
Em unidades de nanowebers,
\Phi_2 = 100\times10^{-9}\\ \mathrm{Wb} = 100\\ \mathrm{nWb}.
Isso confirma a ideia simples: duplicou a corrente de 2{,}0\\ \mathrm{mA} para 4{,}0\\ \mathrm{mA}, então o fluxo por espira também dobrou de 50\\ \mathrm{nWb} para 100\\ \mathrm{nWb}.

Passo 6

Item (d): força eletromotriz máxima \mathscr{E} quando \displaystyle i(t)=(3{,}0\\ \mathrm{mA})\cos(377t).
Primeiro escrevo a corrente com notação numérica:
i(t)=3{,}0\times10^{-3}\cos(377t)\\ \mathrm{A}.
A fem instantânea é
\mathscr{E}(t) = -L\,\frac{di}{dt}.
Calculo a derivada:
\frac{di}{dt} = 3{,}0\times10^{-3}\times\frac{d}{dt}\big(\cos(377t)\big) = 3{,}0\times10^{-3}\times(-377)\sin(377t).
Então
\mathscr{E}(t) = -L\big(-3{,}0\times10^{-3}\times377\sin(377t)\big) = L\times 3{,}0\times10^{-3}\times377\sin(377t).
A amplitude (valor máximo absoluto) de \mathscr{E} é
\mathscr{E}_{\max} = L\times 3{,}0\times10^{-3}\times377.
Agora substituo L=3{,}75\times10^{-3}\\ \mathrm{H}:
\mathscr{E}_{\max} = 3{,}75\times10^{-3}\times 3{,}0\times10^{-3}\times377\\ \mathrm{V}.
Faço a multiplicação passo a passo:
3{,}75\times3{,}0=11{,}25,
11{,}25\times377=4241{,}25,
e as potências de 10 dão 10^{-3}\times10^{-3}=10^{-6}. Logo
\mathscr{E}_{\max} = 4241{,}25\times10^{-6}\\ \mathrm{V} = 4{,}24125\times10^{-3}\\ \mathrm{V}.
Arredondando com sentido prático (duas casas significativas compatíveis com dados do enunciado):
\mathscr{E}_{\max} \approx 4{,}24\times10^{-3}\\ \mathrm{V} = 4{,}24\\ \mathrm{mV}.

Resposta

(a) L = 3{,}75\times10^{-3}\\ \mathrm{H} = 3{,}75\\ \mathrm{mH}.
(b) L = 3{,}75\\ \mathrm{mH}.
(c) \Phi_2 = 1{,}0\times10^{-7}\\ \mathrm{Wb} = 100\\ \mathrm{nWb}.
(d) \mathscr{E}_{\max} \approx 4{,}24\times10^{-3}\\ \mathrm{V} = 4{,}24\\ \mathrm{mV}.

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