As posições de duas partículas A e B são descritas a seguir
\begin{aligned} & \vec{r}_{\mathrm{A}}(t)=2 t^{2} \hat{i}+(2+3 t) \hat{j}+5 t \hat{k}, \\ & \vec{r}_{\mathrm{B}}(t)=4 t^{2} \hat{j}-3 t \hat{k}, \end{aligned}
sendo a posição dada em metros e o tempo em segundos. Calcule
o módulo da velocidade de
cada partícula no instante de tempo t=2 \mathrm{~s}

Passo 1

O enunciado nos dá as posições das partículas A e B em função do tempo:
\vec{r}_{A}(t)=2\,t^{2}\,\hat{i}+(2+3\,t)\,\hat{j}+5\,t\,\hat{k}, \quad \vec{r}_{B}(t)=4\,t^{2}\,\hat{j}-3\,t\,\hat{k}.
O que precisamos é a velocidade, que é a derivada da posição em relação a t, e em seguida o módulo desse vetor velocidade no instante t=2\,\text{s}.

Passo 2

Vamos derivar \vec{r}_{A}(t) termo a termo para obter \vec{v}_{A}(t):
diferenciando 2\,t^{2} em relação a t 4\,t; diferenciando 2+3\,t 3; diferenciando 5\,t 5.
\vec{v}_{A}(t)=\frac{d\vec{r}_{A}}{dt} =4\,t\,\hat{i}+3\,\hat{j}+5\,\hat{k}.

Passo 3

Agora avaliamos em t=2\,\text{s} e calculamos o módulo:
\vec{v}_{A}(2)=4\cdot2\,\hat{i}+3\,\hat{j}+5\,\hat{k} =8\,\hat{i}+3\,\hat{j}+5\,\hat{k}.
O módulo é
\bigl|\vec{v}_{A}(2)\bigr| =\sqrt{8^{2}+3^{2}+5^{2}} =\sqrt{64+9+25} =\sqrt{98} =7\sqrt{2}\,\text{m/s}.

Passo 4

Para a partícula B, derivamos \vec{r}_{B}(t):
diferenciando 4\,t^{2} 8\,t (na direção \hat{j}) e diferenciando -3\,t -3 (na direção \hat{k}).
\vec{v}_{B}(t)=\frac{d\vec{r}_{B}}{dt} =8\,t\,\hat{j}-3\,\hat{k}.

Passo 5

Avaliando em t=2\,\text{s} e calculando o módulo:
\vec{v}_{B}(2)=8\cdot2\,\hat{j}-3\,\hat{k} =16\,\hat{j}-3\,\hat{k},
\bigl|\vec{v}_{B}(2)\bigr| =\sqrt{16^{2}+(-3)^{2}} =\sqrt{256+9} =\sqrt{265}\,\text{m/s}.

Resposta

\bigl|\vec{v}_{A}(2)\bigr|=7\sqrt{2}\,\text{m/s} \bigl|\vec{v}_{B}(2)\bigr|=\sqrt{265}\,\text{m/s}

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