Em um dispositivo unidimensional, a densidade de carga é dada por \rho_{v}=\rho_{0} x / a. Se \mathbf{E}=0 \mathrm{em} x=0 \mathrm{e} V=0 \mathrm{em} x=a, determine V \mathrm{e} \mathbf{E}.

Passo 1

O enunciado diz que temos um dispositivo unidimensional em 0\le x\le a com densidade de carga volumétrica \displaystyle \rho_{v}(x)=\rho_{0}\,\frac{x}{a}.
Precisamos encontrar o campo elétrico \mathbf{E}(x) e o potencial V(x), sabendo que \mathbf{E}(0)=0 e V(a)=0.
O conteúdo principal aqui é usar a forma diferencial da Lei de Gauss
\frac{dE}{dx}=\frac{\rho_{v}}{\epsilon}
e a relação entre campo e potencial
E=-\frac{dV}{dx}.

Passo 2

Aplicamos a Lei de Gauss em uma dimensão. Como \rho_{v}(x)=\rho_{0}\,\frac{x}{a} e \epsilon é a permissividade do meio, temos
\frac{dE}{dx} =\frac{\rho_{v}(x)}{\epsilon} =\frac{\rho_{0}}{\epsilon\,a}\,x.
Integramos essa equação de x=0 até um ponto genérico x, lembrando que E(0)=0.

Passo 3

A integração dá
E(x)-E(0) =\int_{0}^{x}\frac{\rho_{0}}{\epsilon\,a}\,\xi\,d\xi =\frac{\rho_{0}}{\epsilon\,a}\,\frac{x^{2}}{2}.
Como E(0)=0, resulta
E(x) =\frac{\rho_{0}}{2\,\epsilon\,a}\,x^{2}.
Em vetor,
\mathbf{E}(x) =\frac{\rho_{0}}{2\,\epsilon\,a}\,x^{2}\,\hat{\mathbf{x}}.

Passo 4

Agora relacionamos com o potencial via
E(x) =-\frac{dV}{dx}.
Reescrevendo
\frac{dV}{dx} =-E(x) =-\frac{\rho_{0}}{2\,\epsilon\,a}\,x^{2}.
Integramos essa expressão de x até a, usando a condição V(a)=0. É mais direto escrever
V(x)-V(a) =-\int_{a}^{x}E(\xi)\,d\xi \quad\Longrightarrow\quad V(x) =-\int_{a}^{x}\frac{\rho_{0}}{2\,\epsilon\,a}\,\xi^{2}\,d\xi,
com V(a)=0.

Passo 5

Fazendo a integral, trocando limites para ficar positivo,
V(x) =\int_{x}^{a}\frac{\rho_{0}}{2\,\epsilon\,a}\,\xi^{2}\,d\xi =\frac{\rho_{0}}{2\,\epsilon\,a}\,\biggl[\frac{\xi^{3}}{3}\biggr]_{\,x}^{\,a} =\frac{\rho_{0}}{6\,\epsilon\,a}\,\bigl(a^{3}-x^{3}\bigr).

Resposta

\boxed{ \mathbf{E}(x) =\frac{\rho_{0}}{2\,\epsilon\,a}\,x^{2}\,\hat{\mathbf{x}}, \quad V(x) =\frac{\rho_{0}}{6\,\epsilon\,a}\,\bigl(a^{3}-x^{3}\bigr). }

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