Uma bobina consiste num arranjo formado por N espiras justapostas umas das outras. Duas bobinas circulares e coaxiais de raio \boldsymbol{R} e numero de espiras \boldsymbol{N} transporta uma corrente \boldsymbol{I} no mesmo sentido e separadas uma distância \boldsymbol{a} uma da outra. Determine o campo magnético produzido por está configuração em um ponto arbitrário entre as bobinas sobre o eixo.

Passo 1

O enunciado pede o campo magnético em um ponto genérico sobre o eixo comum a duas bobinas circulares idênticas. Cada bobina tem raio R, número de espiras N, transporta corrente I e as duas estão separadas por uma distância a. O conteúdo necessário é magnetostática: o campo axial de uma espira circular e o princípio da superposição.

Passo 2

Começamos lembrando que o campo magnético no eixo de uma única espira circular de raio R, percorrida por corrente I, a uma distância z do plano da espira é
B_{\rm espira}(z) = \frac{\mu_{0}\,I\,R^{2}}{2\bigl(R^{2}+z^{2}\bigr)^{3/2}}\,,
onde \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo.

Passo 3

Uma bobina de N espiras justapostas multiplica esse campo por N, ou seja,
B_{\rm bobina}(z) = N \,\frac{\mu_{0}\,I\,R^{2}}{2\bigl(R^{2}+z^{2}\bigr)^{3/2}}\,.

Passo 4

Vamos colocar uma bobina no plano x=0 e a outra no plano x=a. Seja x a coordenada do ponto, com 0<x<a. A contribuição da bobina em x=0 avaliada em x usa z=x, e a da bobina em x=a usa z=a-x. Pelo princípio da superposição,
B_{\rm total}(x) = B_{\rm bobina}(z=x) + B_{\rm bobina}\bigl(z=a-x\bigr).

Passo 5

Substituindo a expressão de B_{\rm bobina}, obtemos
B_{\rm total}(x) = N\,\frac{\mu_{0}\,I\,R^{2}}{2}\left[ \frac{1}{\bigl(R^{2}+x^{2}\bigr)^{3/2}} + \frac{1}{\bigl(R^{2}+(a-x)^{2}\bigr)^{3/2}} \right].

Resposta

B(x) = N\,\frac{\mu_{0}\,I\,R^{2}}{2}\biggl[\frac{1}{\bigl(R^{2}+x^{2}\bigr)^{3/2}} +\frac{1}{\bigl(R^{2}+(a-x)^{2}\bigr)^{3/2}}\biggr].

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