Um longo cilindro circular de raio a, possuindo carga \lambda por unidade de comprimento, está imerso em um meio dielétrico de permissividade constante \epsilon. Determine o campo elétrico a uma distancia r>a do eixo do cilindro.

Passo 1

O enunciado pede o campo elétrico gerado por um cilindro infinito de raio a, com densidade linear de carga \lambda, imerso em um meio dielétrico de permissividade \epsilon. O objetivo é usar a Lei de Gauss para encontrar \mathbf{E}(r) para r>a.

Passo 2

Pela simetria cilíndrica, o campo elétrico deve ser radial e ter mesma magnitude em todos os pontos de um cilindro coaxial de raio r. Escolhemos como superfície de Gauss um cilindro de raio r e comprimento L, com eixo coincidente ao do cilindro carregado.

Passo 3

A carga total envolvida pela superfície de Gauss é a carga do cilindro original contida no comprimento L, ou seja,
Q_{\text{int}} = \lambda \, L.

Passo 4

O fluxo elétrico através da superfície de Gauss ocorre apenas no corpo lateral do cilindro (as bases não contribuem, pois \mathbf{E} é paralelo a elas). Assim,
\Phi = \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = E(r)\,\bigl(2\pi r L\bigr).

Passo 5

Aplicando a Lei de Gauss em meio dielétrico,
\Phi = \frac{Q_{\text{int}}}{\epsilon} \quad\Longrightarrow\quad E(r)\,2\pi r L = \frac{\lambda L}{\epsilon}.
Cancelando L e isolando E(r), obtemos
E(r) = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon\,r}.

Resposta

\mathbf{E}(r) = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon\,r}\,\hat{r}, \quad r>a.

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