Uma bobina com indutância
e resistência de
é repentinamente conectado a uma bateria, de resistência interna desprezível, com
. Decorridos 0,10 s após a ligação ser feita, qual é a taxa em que a energia térmica aparece no resistor.
Passo 1
Beleza, o exercício diz que a gente tem uma bobina (indutor) com L=2,0 H e resistência R=10 Ω ligada de repente a uma bateria ε=100 V (sem resistência interna). Depois de t=0,10 s, querem saber a potência (taxa de aparecimento de energia térmica) no resistor.
Conteúdo: circuito RL em regime transitório. A gente vai usar a lei de Kirchhoff + solução da equação diferencial para corrente em RL e depois calcular P= i²R.
Conteúdo: circuito RL em regime transitório. A gente vai usar a lei de Kirchhoff + solução da equação diferencial para corrente em RL e depois calcular P= i²R.
Passo 2
Quando a gente fecha o circuito RL com tensão fixa ε, a corrente cresce segundo
i(t)=\frac{ε}{R},\bigl(1 - e^{-R t/L}\bigr).
Isso vem da equação diferencial ε = L\frac{di}{dt} + R i. Até aqui, tranquilo?
i(t)=\frac{ε}{R},\bigl(1 - e^{-R t/L}\bigr).
Isso vem da equação diferencial ε = L\frac{di}{dt} + R i. Até aqui, tranquilo?
Passo 3
Substituindo os valores:
ε=100 V, R=10 Ω, L=2,0 H e t=0,10 s, temos
R t/L = \frac{10·0{,}10}{2{,}0} = \frac{1}{2} = 0{,}5,
então
e^{-R t/L} = e^{-0,5}.
ε=100 V, R=10 Ω, L=2,0 H e t=0,10 s, temos
R t/L = \frac{10·0{,}10}{2{,}0} = \frac{1}{2} = 0{,}5,
então
e^{-R t/L} = e^{-0,5}.
Passo 4
Calculando a corrente em t=0,10 s:
i(0{,}10) = \frac{100}{10},\bigl(1 - e^{-0,5}\bigr)
= 10,\bigl(1 - e^{-0,5}\bigr).
Como e^{-0,5}≈0,6065,
i(0{,}10) ≈ 10·(1 – 0,6065) ≈ 10·0,3935 ≈ 3,935 A.
i(0{,}10) = \frac{100}{10},\bigl(1 - e^{-0,5}\bigr)
= 10,\bigl(1 - e^{-0,5}\bigr).
Como e^{-0,5}≈0,6065,
i(0{,}10) ≈ 10·(1 – 0,6065) ≈ 10·0,3935 ≈ 3,935 A.
Passo 5
Agora a potência dissipada no resistor (energia térmica por segundo) é
P = i^2·R.
Substituindo i≈3,935 A e R=10 Ω:
P ≈ (3,935)^2·10 ≈ 15,492·10 ≈ 154,9 W.
P = i^2·R.
Substituindo i≈3,935 A e R=10 Ω:
P ≈ (3,935)^2·10 ≈ 15,492·10 ≈ 154,9 W.
Resposta
A taxa de aparecimento de energia térmica no resistor, aos 0,10 s, é aproximadamente 155 W.