Uma bobina com uma indutância de 1 H e uma resistência de 1 Omega são ligadas bruscamente a uma fonte ideal com xi=10 V. Um décimo de segundo após ser feita a ligação, determine a taxa com a qual a energia está sendo armazenada no campo magnético da bobina.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de eletricidade envolvendo uma bobina com indutância de 1,H e resistência de 1,Omega ligada a uma fonte ideal de 10,V. O objetivo é descobrir, após 0,1 segundos da ligação, qual a taxa com a qual a energia está sendo armazenada no campo magnético da bobina. Para resolver isso, vamos usar conceitos de circuitos RL (indutor e resistor) e como a energia é armazenada em um indutor.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a corrente que passa pela bobina ao longo do tempo após a ligação. Em um circuito RL, a corrente I(t) em qualquer instante t é dada pela fórmula:
I(t) = xiR (1 - e^-RL t)
Onde:
  • xi é a tensão da fonte ( 10,V),
  • R é a resistência ( 1,Omega),
  • L é a indutância ( 1,H).
Substituindo os valores:
I(t) = 101 (1 - e^-1 cdot t) = 10 (1 - e^-t)

Passo 3

Agora, vamos calcular a corrente no instante t = 0,1,s:
I(0,1) = 10 (1 - e^-0,1)
Calculando e^-0,1:
e^-0,1 approx 0,904837418
Portanto:
I(0,1) = 10 (1 - 0,904837418) = 10 times 0,095162582 approx 0,95162582,A

Passo 4

A energia armazenada no campo magnético de um indutor é dada por:
W = 12 L I^2
Para encontrar a taxa com que essa energia está sendo armazenada, precisamos calcular a derivada de W em relação ao tempo, ou seja, dWdt:
dWdt = ddt ( 12 L I^2 ) = L I dIdt

Passo 5

Precisamos encontrar dIdt. Derivando a expressão de I(t):
I(t) = 10 (1 - e^-t) Rightarrow dIdt = 10 e^-t

Passo 6

Agora, substituímos os valores na expressão de dWdt:
dWdt = L I(t) dIdt = 1 times 0,95162582 times 10 e^-0,1
Calculando 10 e^-0,1:
10 e^-0,1 approx 10 times 0,904837418 approx 9,04837418
Então:
dWdt approx 1 times 0,95162582 times 9,04837418 approx 8,607,W

Resposta

A taxa com a qual a energia está sendo armazenada no campo magnético da bobina após 0,1,s é aproximadamente 8,61,W.

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