Em um circuito RLC em série oscilante, determine o tempo necessário para que a energia máxima presente no capacitor durante uma oscilação diminua para
do valor inicial. Suponha que
em
e além disso
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um circuito RLC em série oscilante e precisa descobrir quanto tempo leva para a energia máxima no capacitor diminuir para
do valor inicial. A gente vai trabalhar com conceitos de circuitos oscilantes amortecidos, onde a resistência (
) faz a energia se dissipar com o tempo. Para resolver isso, vamos precisar usar as fórmulas que descrevem como a carga e a energia decaem ao longo do tempo em um circuito assim.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a carga no capacitor varia com o tempo. Em um circuito RLC amortecido, a carga
no capacitor pode ser descrita por:
Aqui,
é a carga inicial no capacitor em
,
é a constante de amortecimento, e
é a frequência angular amortecida. Mas, como estamos preocupados apenas com a energia máxima, podemos focar na parte exponencial que descreve como a energia se dissipa.
Passo 3
A energia armazenada no capacitor é dada por:
Substituindo
na equação da energia, temos:
Como estamos falando sobre a energia máxima, a parte do cosseno (
) alcança seu valor máximo de 1. Portanto, a equação simplifica para:
Isso mostra que a energia decai exponencialmente com o tempo.
Passo 4
Queremos saber quando
. Vamos igualar e resolver para
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 5
Agora, para resolver para
, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
Isolando
:
Passo 6
Vamos calcular
, que é a constante de amortecimento definida por:
Com os valores fornecidos:
Passo 7
Substituindo
na equação para
:
Calculando o valor de
:
Então:
Resposta
O tempo necessário para que a energia máxima no capacitor diminua para
do valor inicial é aproximadamente
segundos.