Em um circuito RLC em série oscilante, determine o tempo necessário para que a energia máxima presente no capacitor durante uma oscilação diminua para 2 / 3 do valor inicial. Suponha que q=Q em t=0 e além disso L=10 m H e R=10 Omega.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um circuito RLC em série oscilante e precisa descobrir quanto tempo leva para a energia máxima no capacitor diminuir para 23 do valor inicial. A gente vai trabalhar com conceitos de circuitos oscilantes amortecidos, onde a resistência ( R) faz a energia se dissipar com o tempo. Para resolver isso, vamos precisar usar as fórmulas que descrevem como a carga e a energia decaem ao longo do tempo em um circuito assim.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a carga no capacitor varia com o tempo. Em um circuito RLC amortecido, a carga q(t) no capacitor pode ser descrita por:
q(t) = Q , e^-alpha t cos(omega' t)
Aqui, Q é a carga inicial no capacitor em t=0, alpha é a constante de amortecimento, e omega' é a frequência angular amortecida. Mas, como estamos preocupados apenas com a energia máxima, podemos focar na parte exponencial que descreve como a energia se dissipa.

Passo 3

A energia armazenada no capacitor é dada por:
U(t) = q(t)^22C
Substituindo q(t) na equação da energia, temos:
U(t) = Q^22C e^-2alpha t cos^2(omega' t)
Como estamos falando sobre a energia máxima, a parte do cosseno ( cos^2(omega' t)) alcança seu valor máximo de 1. Portanto, a equação simplifica para:
U(t) = Q^22C e^-2alpha t
Isso mostra que a energia decai exponencialmente com o tempo.

Passo 4

Queremos saber quando U(t) = 23 U(0). Vamos igualar e resolver para t:
23 U(0) = U(0) e^-2alpha t
Dividindo ambos os lados por U(0):
23 = e^-2alpha t

Passo 5

Agora, para resolver para t, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
ln(23) = -2alpha t
Isolando t:
t = -ln(23)2alpha

Passo 6

Vamos calcular alpha, que é a constante de amortecimento definida por:
alpha = R2L
Com os valores fornecidos:
R = 10 Omega L = 10 mH = 0,01 H alpha = 102 times 0,01 = 100,02 = 500 s^-1

Passo 7

Substituindo alpha na equação para t:
t = -ln(23)2 times 500 = ln(32)1000
Calculando o valor de ln(32):
ln(32) approx 0,4055
Então:
t approx 0,40551000 approx 0,0004055 segundos

Resposta

O tempo necessário para que a energia máxima no capacitor diminua para 23 do valor inicial é aproximadamente 4,06 times 10^-4 segundos.

Exercícios relacionados