Em um circuito LC oscilante no qual C=5 mu F, a diferença de potencial máxima entre os terminais do capacitor durante as oscilações é 2 V e a corrente máxima no indutor é 100 mA . Qual é o tempo necessário para que a carga do capacito aumente de zero até o valor máximo?

Passo 1

Então, vamos resolver um exercício de circuitos elétricos, mais especificamente de um circuito LC oscilante. No problema, temos um capacitor com capacitância de 5,mu F, uma diferença de potencial máxima de 2,V e uma corrente máxima de 100,mA no indutor. O que precisamos descobrir é quanto tempo leva para a carga do capacitor aumentar de zero até seu valor máximo durante as oscilações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um circuito LC oscilante. Um circuito LC é composto por um indutor (L) e um capacitor © que, quando conectados, permitem oscilações de energia entre o campo elétrico do capacitor e o campo magnético do indutor. A carga no capacitor e a corrente no indutor oscilam de forma periódica.

Passo 3

Para resolver o problema, precisamos relacionar a carga máxima no capacitor e a corrente máxima no indutor. A carga máxima ( Qmax) no capacitor está relacionada à diferença de potencial máxima ( Vmax) pela fórmula:
Qmax = C cdot Vmax
Substituindo os valores dados:
Qmax = 5,mu F cdot 2,V = 10,mu C

Passo 4

Agora, vamos relacionar a corrente máxima com a frequência das oscilações. A corrente máxima ( Imax) em um circuito LC é dada por:
Imax = omega cdot Qmax
onde omega é a frequência angular, que está relacionada à capacitância e à indutância pela fórmula:
omega = 1raizL cdot C

Passo 5

Primeiro, precisamos encontrar a indutância ( L) do circuito. Rearranjando a fórmula da corrente máxima:
omega = ImaxQmax = 100,mA10,mu C = 10^4,s^-1
Agora, relacionando com a frequência angular:
omega = 1raizL cdot C Rightarrow L = 1omega^2 cdot C
Substituindo os valores:
L = 1(10^4)^2 cdot 5 times 10^-6 = 110^8 cdot 5 times 10^-6 = 10,5 = 2,H

Passo 6

Sabendo que a carga no capacitor varia como:
Q(t) = Qmax cdot sin(omega t)
Queremos encontrar o tempo ( t) quando Q(t) = Qmax, ou seja:
Qmax = Qmax cdot sin(omega t) Rightarrow sin(omega t) = 1
Isso acontece quando:
omega t = pi2
Portanto:
t = pi2 omega

Passo 7

Substituindo o valor de omega que encontramos:
t = pi2 times 10^4 = 3,141620000 approx 0,000157,s = 157,mu s

Resposta

O tempo necessário para que a carga do capacitor aumente de zero até o valor máximo é de aproximadamente 157,mu s.

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