Um bocal cilíndrico com comprimento igual a 0,60 \mathrm{~m} e diâmetro 0,20 \mathrm{~m} foi instalado na parede de um reservatório de água de nível constante de forma que o seu centro se encontra a uma profundidade \mathrm{H} 1=3,00 \mathrm{~m}. Um outro bocal cilíndrico de diâmetro 0,15 \mathrm{~m} e \mathrm{L} / \mathrm{D}=3,0 deve ser instalado no mesmo reservatório, de forma a fornecer a mesma vazão. Qual deverá ser a profundidade do centro da seção transversal do segundo bocal, considerando que os coeficientes de descarga de ambos valem 0,82 ? Resposta: h=9,48 \mathrm{~m}

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos um primeiro bocal cilíndrico de comprimento L_1=0{,}60\:\mathrm{m} e diâmetro D_1=0{,}20\:\mathrm{m}, cujo centro está a uma profundidade H_1=3{,}00\:\mathrm{m}. O coeficiente de descarga é C_{d1}=0{,}82. Queremos instalar um segundo bocal com diâmetro D_2=0{,}15\:\mathrm{m} e L_2/D_2=3{,}0 (logo L_2=0{,}45\:\mathrm{m}), também com C_{d2}=0{,}82, de modo que a vazão seja a mesma. Vamos usar a fórmula de orifício submerso para relacionar \,Q, C_d, a área A e a profundidade h.

Passo 2

Calculamos as áreas das seções transversais de cada bocal usando
A = \frac{\pi D^2}{4}
para D_1 e D_2:
A_1 = \frac{\pi (0{,}20)^2}{4} = 0{,}0314\:\mathrm{m}^2,
A_2 = \frac{\pi (0{,}15)^2}{4} = 0{,}0177\:\mathrm{m}^2.

Passo 3

A vazão de um orifício submerso é
Q = C_d \, A \,\sqrt{2\,g\,h}\,.
Como queremos Q_1=Q_2 e C_{d1}=C_{d2}, basta igualar
A_1\sqrt{H_1} \;=\; A_2\sqrt{h}\,.

Passo 4

Isolando \sqrt{h} e elevando ao quadrado, obtemos
\sqrt{h} = \frac{A_1}{A_2}\,\sqrt{H_1} \quad\Longrightarrow\quad h = \Bigl(\frac{A_1}{A_2}\Bigr)^{2} H_1.
Substituindo valores:
\frac{A_1}{A_2} = \frac{0{,}0314}{0{,}0177}\approx 1{,}777,
h = (1{,}777)^{2}\times 3{,}00 \approx 9{,}48\:\mathrm{m}.

Resposta

A profundidade requerida é h = 9{,}48\:\mathrm{m}.

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