Determinar o tempo de esvaziamento de um reservatório retangular de 40 \mathrm{~cm} \times 30 \mathrm{~cm} de área superficial, com o uso de um orifício de 5 cm de diâmetro localizado a 10 cm do fundo (do fundo à face inferior do orifício). O reservatório possui 55 cm de lâmina d’água (do fundo à superfície).

Passo 1

O enunciado dá um reservatório de base rectangular com área superficial
A = 40\,\text{cm}\times30\,\text{cm} = 1200\\ \text{cm}^2
e lâmina d’água inicial de 55\,\text{cm} sobre o fundo. Há um orifício circular de diâmetro 5\,\text{cm}, isto é, área
A_o = \pi\bigl(2{,}5\,\text{cm}\bigr)^2 = 6{,}25\pi\\ \text{cm}^2,
cuja face inferior fica a 10\,\text{cm} do fundo. Precisamos calcular o tempo T para a lâmina de água descer de 55\,\text{cm} até a altura do orifício, quando o escoamento cessa.

Passo 2

Em escoamento por orifício pequeno, a vazão é dada pela Torricelli corrigida por um coeficiente de descarga C_d:
Q = C_d\,A_o\sqrt{2g\,h},
onde h é a altura da superfície livre acima do centro do orifício e g a aceleração da gravidade. Aqui medimos h a partir do plano do orifício, então
h(t) = y(t) - 10\quad\text{com }y(t)\text{ altura absoluta da água.}á
Inicialmente y(0)=55, logo
h(0)=55-10=45\\ \text{cm},
e no instante final y=y_o=10 h=0.

Passo 3

O volume d’água acima do orifício é V=A\,y. Como y=h+10, a variação de volume satisfaz
\frac{dV}{dt} = A\,\frac{dy}{dt} = A\,\frac{dh}{dt} \quad\text{e}\quad \frac{dV}{dt}=-Q\,.
Logo
A\,\frac{dh}{dt} = -C_d\,A_o\sqrt{2g\,h}.
Rearranjando e separando variáveis:
\frac{dh}{\sqrt{h}} = -\frac{C_d\,A_o\sqrt{2g}}{A}\,dt.

Passo 4

Integramos h de h(0)=45 a h(T)=0 e t de 0 a T:
\int_{45}^{0} h^{-1/2}\,dh = -\frac{C_d\,A_o\sqrt{2g}}{A}\,\int_{0}^{T} dt \quad\Longrightarrow\quad \bigl[-2\sqrt{h}\bigr]_{45}^{0} = -\frac{C_d\,A_o\sqrt{2g}}{A}\,T.
Calculando o lado esquerdo:
-2\bigl(0-\sqrt{45}\bigr)=2\sqrt{45}.
Portanto
T = \frac{2A\sqrt{45}}{C_d\,A_o\sqrt{2g}}.

Passo 5

Adotando g=980\\ \text{cm/s}^2 e tomando o orifício ideal C_d=1, substituímos:
A=1200,\quad A_o=6{,}25\pi,\quad \sqrt{45}\approx6{,}708,\quad \sqrt{2g}=\sqrt{1960}\approx44{,}271.
Então
T = \frac{2\cdot1200\cdot6{,}708}{1\cdot6{,}25\pi\cdot44{,}271} \approx18{,}5\\ \text{s}.

Resposta

O tempo de escoamento até a lâmina atingir o nível do orifício é aproximadamente 18{,}5\\ \text{s}.

Exercícios relacionados