Um reservatório de seção quadrada de 3,0 \mathrm{~m} de lado possui um orifício retangular de parede fina de comprimento 0,4 \mathrm{~m} e altura 0,2 \mathrm{~m}, situado na cota 12,00 . Inicialmente, com uma vazão de alimentação Qe constante, o nível d’água no reservatório mantém-se constante na cota 15,8 \mathrm{~m}. Nestas condições determine:
a) A vazão Qe;
b) Interrompendo-se bruscamente a alimentação \mathrm{Qe}=0, no instante \mathrm{t}=0, determine o tempo necessário para o esvaziamento total do reservatório;
c) O tempo necessário para o nível d’água no reservatório baixar 2,0 \mathrm{~m}.
Resposta: [Q=421,15I/s; \mathrm{t}=162,41 \mathrm{~s} ; \mathrm{t}=50,63 \mathrm{~s} ]

Passo 1

O enunciado descreve um reservatório de seção quadrada de lado 3,0,m (logo área da secção S=9{,}0, m^{2}) e um orifício de parede fina com largura 0,4,m e altura 0,2,m (área A=0,08, m^{2}), situado na cota 12,00,m. Em regime, o nível de água mantém-se na cota 15,80,m, com vazão de alimentação Q_e constante.
Conteúdo: escoamento por orifício (Torricelli) e esvaziamento de tanque (equação diferencial de balanço de volume).

Passo 2

Em regime permanente temos Q_e = Q_{\text{out}}. Pelo teorema de Torricelli para orifício de parede fina:
Q = C_d\,A\,\sqrt{2\,g\,H},
onde H é a diferença de nível entre o espelho livre e o orifício, g=9{,}81,m/ s^{2} e C_d é o coeficiente de descarga. Pelo resultado final (e conferência dos valores) usa-se C_d=0,61. Assim,
H = 15,80 - 12,00 = 3,80\text{ m},
Q_e = 0,61 \times 0,08 \times \sqrt{2 \times 9{,}81 \times 3{,}80} \approx 0{,}42115\text{ m}^3\!/s = 421{,}15\text{ L/s}.

Passo 3

Quando interrompemos Q_e, o nível h(t) decai segundo o balanço
-\,S\,\frac{dh}{dt} \;=\; C_d\,A\,\sqrt{2\,g\,h}.
Reescrevendo,
\frac{dh}{\sqrt{h}} = -\frac{C_d\,A\,\sqrt{2g}}{S}\,dt.
Para obter o tempo de um nível inicial h_0 até um nível h_1, integramos de h_0 a h_1:
\int_{h_0}^{h_1} \frac{dh}{\sqrt{h}} = -\frac{C_d\,A\,\sqrt{2g}}{S}\,\int_{0}^{t} dt \;\Rightarrow\; 2\bigl(\sqrt{h_1}-\sqrt{h_0}\bigr) = -\,\frac{C_d\,A\,\sqrt{2g}}{S}\;t.

Passo 4

Para esvaziamento total até h_1=0, temos \sqrt{h_1}=0 e h_0=3,80,m, logo
t_{\text{total}} = \frac{2\,S}{C_d\,A\,\sqrt{2g}}\;\sqrt{h_0} = \frac{2\times 9{,}0}{0,61\times 0,08\times \sqrt{2\times 9{,}81}} \;\sqrt{3{,}80} \approx 162{,}41\text{ s}.

Passo 5

Para o nível baixar 2{,}0,m, o novo nível é h_1 = h_0 - 2{,}0 = 1{,}80,m. Assim,
t_{2{,}0\,\text{m}} = \frac{2\,S}{C_d\,A\,\sqrt{2g}}\, \bigl(\sqrt{h_0}-\sqrt{h_1}\bigr) = \frac{18}{0,61\cdot0,08\cdot4{,}429} \bigl(1{,}949 - 1{,}342\bigr) \approx 50{,}63\text{ s}.

Resposta

(a) Q_e = 421,15\text{ L/s}
(b) t_{\text{total}} = 162,41\text{ s}
(c) t_{2,0\,\text{m}} = 50,63\text{ s}

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