Um cilindro contem 356 \mathrm{dm}^{3} de ar a 49^{\circ} \mathrm{C} e uma pressão absoluta de 2,80 \mathrm{kgf} / \mathrm{cm}^{2}. Se comprime o ar até o volume ser reduzido a 70 \mathrm{dm}^{3}. (a) Supondo condições isotérmicas, qual é a pressão do novo volume de ar e qual o módulo de elasticidade volumétrico? (b) Supondo condições adiabáticas, qual a pressão final, a temperatura final e o módulo de elasticidade volumétrica?
Obs: para processos adiabáticos de gases ideais, utiliza-se as relações abaixo, com k=1,4 para o ar:
\begin{aligned} & p V^{k}=\text { constante } \\\ & \frac{T_{2}}{T_{1}}=\left(\frac{p_{2}}{p_{1}}\right)^{(k-1 / k)} \end{aligned}
Resposta: a) p_{\text {final }}=1,4 \mathrm{MPa}, \mathrm{E}=1,4 \mathrm{MPa}, b) p_{\text {final }}=2,68 \mathrm{MPa}, \mathrm{T}=618 \mathrm{~K}, \mathrm{E}=2,99 \mathrm{MPa}.

Passo 1

O enunciado dá um volume inicial de ar V_1=356\\ \mathrm{dm}^3, temperatura inicial T_1=49^\circ\mathrm{C} e pressão absoluta inicial p_1=2,80\\ \mathrm{kgf/cm}^2. O ar é comprimido até V_2=70\\ \mathrm{dm}^3. Vamos tratar dois casos:
  • (a) processo isotérmico, usando a lei de Boyle–Mariotte para gases ideais;
  • (b) processo adiabático, usando pV^k= constante e a relação entre temperaturas.
    Em cada caso calcularemos também o módulo de elasticidade volumétrico definido como a razão entre a variação de pressão e a variação volumétrica relativa.

Passo 2

Primeiro convertamos para unidades consistentes em MPa e Kelvin, e definamos a deformação volumétrica.
– Como só precisamos de razão de volumes, podemos manter V_1 e V_2 em \mathrm{dm}^3.
– Temperatura inicial em Kelvin:
T_1 = 49^\circ\mathrm{C} + 273{,}15 = 322{,}15\\ \mathrm{K}.
– Pressão em MPa: 1\\ \mathrm{kgf/cm}^2 = 9{,}80665\times10^4\\ \mathrm{Pa}=0{,}0980665\\ \mathrm{MPa}, então
p_1 = 2{,}80\times0{,}0980665 = 0{,}2746\\ \mathrm{MPa}.
– Definimos a deformação volumétrica como
\varepsilon_v = \frac{V_2 - V_1}{V_1}.

Passo 3

(a) Condições isotérmicas. Aqui vale p_1V_1 = p_2V_2, logo
p_2 = p_1\,\frac{V_1}{V_2} = 0{,}2746\\ \mathrm{MPa}\times\frac{356}{70} = 1{,}397\\ \mathrm{MPa}\approx1{,}40\\ \mathrm{MPa}.
Em seguida calculamos
\varepsilon_v = \frac{70 - 356}{356} = -0{,}8031,
e o módulo de elasticidade volumétrico pela variação de pressão sobre a deformação absoluta:
E = \frac{p_2 - p_1}{|\varepsilon_v|} = \frac{1{,}397 - 0{,}2746}{0{,}8031} = 1{,}397\\ \mathrm{MPa}\approx1{,}40\\ \mathrm{MPa}.

Passo 4

(b) Condições adiabáticas com k=1{,}4. Primeiro
p_2 = p_1\Bigl(\frac{V_1}{V_2}\Bigr)^{k} = 0{,}2746\\ \mathrm{MPa}\times\Bigl(\frac{356}{70}\Bigr)^{1{,}4} = 2{,}68\\ \mathrm{MPa}.
Depois a temperatura final pela relação
\frac{T_2}{T_1} = \Bigl(\frac{p_2}{p_1}\Bigr)^{\frac{k-1}{k}} \quad\Rightarrow\quad T_2 = 322{,}15\\ \mathrm{K}\times\Bigl(\frac{2{,}68}{0{,}2746}\Bigr)^{0{,}2857} = 618\\ \mathrm{K}.
Mantemos a mesma \varepsilon_v=-0{,}8031 e obtemos
E = \frac{p_2 - p_1}{|\varepsilon_v|} = \frac{2{,}68 - 0{,}2746}{0{,}8031} = 2{,}99\\ \mathrm{MPa}.

Resposta

(a) Sob isotermia: p_{\mathrm{final}} = 1{,}40\\ \mathrm{MPa},\quad E = 1{,}40\\ \mathrm{MPa}.
(b) Sob adiabático k=1{,}4: p_{\mathrm{final}} = 2{,}68\\ \mathrm{MPa},\quad T_{\mathrm{final}} = 618\\ \mathrm{K},\quad E = 2{,}99\\ \mathrm{MPa}.

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