Um bocal convergente-divergente possui uma temperatura de estagnação ( T0 ) de 400 K e uma pressão de estagnação (p0) de 980 kPa. O número de Mach na garganta vale 0,84. A área do bocal CD no plano de saída (Ae) vale 0,0016 m^2 e a pressão traseira (pb) vale 800 kPa. Ocorre um escoamento isentrópico de ar, em que k=1,4 e R=287 J /(kg cdot K).
c) o número de Mach na saída do bocal CD;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um bocal convergente-divergente com alguns parâmetros dados, como temperatura e pressão de estagnação, número de Mach na garganta, área da saída e pressão traseira. O conteúdo que vamos usar aqui é da mecânica dos fluidos, mais especificamente sobre escoamento isentrópico em bocais. Precisamos entender como relacionar essas variáveis para encontrar o número de Mach na saída do bocal CD.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um escoamento isentrópico (sem troca de calor e sem geração de entropia), podemos usar relações simplificadas para ligar as variáveis termodinâmicas e de fluxo. Aqui, nosso foco é relacionar o número de Mach com as áreas e pressões no bocal.

Passo 3

Sabemos que o número de Mach na garganta é 0,84. A garganta de um bocal convergente-divergente é o ponto de menor área, onde o fluxo pode se aproximar do fluxo subsônico. Vamos usar a equação da continuidade e as relações de área para Mach para relacionar a área da saída com o número de Mach nessa região.

Passo 4

A equação da continuidade para escoamento isentrópico nos diz que:
AA^* = 1M ( 2k+1 (1 + k-12 M^2 ) )^k+12(k-1)
Aqui, $ A $ é a área no ponto considerado, $ A^* $ é a área na garganta, e $ M $ é o número de Mach nesse ponto.

Passo 5

Como já temos o número de Mach na garganta ($ M^* = 0,84 $) e a área na saída $ A_e = 0,0016 , m^2 $, podemos rearranjar a equação para encontrar o número de Mach na saída $ M_e $.

Passo 6

Para facilitar, vamos calcular primeiro a razão $ \frac{A_e}{A^} $. Sabemos que na garganta, $ \frac{A*}{A} = 1 $, então $ \frac{A_e}{A^} = \frac{A_e}{A^} $. Porém, como não temos $ A^* $, precisamos relacionar as pressões para encontrar $ A^* $.

Passo 7

Podemos usar a equação de continuidade combinada com a equação de energia para relacionar as pressões e os números de Mach. A relação entre pressão e número de Mach em escoamentos isentrópicos é dada por:
pp0 = (1 + k-12 M^2 )^-kk-1

Passo 8

Temos a pressão na saída $ p_b = 800 , kPa $ e a pressão de estagnação $ p_0 = 980 , kPa $. Vamos usar essa relação para encontrar o número de Mach na saída $ M_e $:
pb = 800 , kPa

Passo 9

Simplificando os termos:
800980 = (1 + 0,2 Me^2 )^-3,5
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar $ M_e $.

Passo 10

Primeiro, calculamos $ \frac{800}{980} \approx 0,8163 $:
800980 approx 0,8163
Tomando ambos os lados da equação à potência 0,8163 = (1 + 0,2 Me^2 )^-3,5 :
-13,5
Calculando o lado esquerdo:
(0,8163)^-13,5 = 1 + 0,2 Me^2
Então:
(0,8163)^-0,2857 approx 1,060

Passo 11

Subtraindo 1 de ambos os lados:
0,060 = 0,2 Me^2
Dividindo por 0,2:
Me^2 = 0,0600,2 = 0,3
Tomando a raiz quadrada:
Me = raiz0,3 approx 0,5477

Resposta

O número de Mach na saída do bocal CD é aproximadamente 0,55.

Exercícios relacionados