Um bocal convergente-divergente possui uma temperatura de estagnação (
) de 400 K e uma pressão de estagnação
de 980 kPa. O número de Mach na garganta vale 0,84. A área do bocal CD no plano de saída
vale
e a pressão traseira
vale 800 kPa. Ocorre um escoamento isentrópico de ar, em que
e
.
c) o número de Mach na saída do bocal CD;
c) o número de Mach na saída do bocal CD;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um bocal convergente-divergente com alguns parâmetros dados, como temperatura e pressão de estagnação, número de Mach na garganta, área da saída e pressão traseira. O conteúdo que vamos usar aqui é da mecânica dos fluidos, mais especificamente sobre escoamento isentrópico em bocais. Precisamos entender como relacionar essas variáveis para encontrar o número de Mach na saída do bocal CD.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um escoamento isentrópico (sem troca de calor e sem geração de entropia), podemos usar relações simplificadas para ligar as variáveis termodinâmicas e de fluxo. Aqui, nosso foco é relacionar o número de Mach com as áreas e pressões no bocal.
Passo 3
Sabemos que o número de Mach na garganta é 0,84. A garganta de um bocal convergente-divergente é o ponto de menor área, onde o fluxo pode se aproximar do fluxo subsônico. Vamos usar a equação da continuidade e as relações de área para Mach para relacionar a área da saída com o número de Mach nessa região.
Passo 4
A equação da continuidade para escoamento isentrópico nos diz que:
Aqui, $ A $ é a área no ponto considerado, $ A^* $ é a área na garganta, e $ M $ é o número de Mach nesse ponto.
Passo 5
Como já temos o número de Mach na garganta ($ M^* = 0,84 $) e a área na saída $ A_e = 0,0016 , m^2 $, podemos rearranjar a equação para encontrar o número de Mach na saída $ M_e $.
Passo 6
Para facilitar, vamos calcular primeiro a razão $ \frac{A_e}{A^} $. Sabemos que na garganta, $ \frac{A*}{A} = 1 $, então $ \frac{A_e}{A^} = \frac{A_e}{A^} $. Porém, como não temos $ A^* $, precisamos relacionar as pressões para encontrar $ A^* $.
Passo 7
Podemos usar a equação de continuidade combinada com a equação de energia para relacionar as pressões e os números de Mach. A relação entre pressão e número de Mach em escoamentos isentrópicos é dada por:
Passo 8
Temos a pressão na saída $ p_b = 800 , kPa $ e a pressão de estagnação $ p_0 = 980 , kPa $. Vamos usar essa relação para encontrar o número de Mach na saída $ M_e $:
Passo 9
Simplificando os termos:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar $ M_e $.
Passo 10
Primeiro, calculamos $ \frac{800}{980} \approx 0,8163 $:
Tomando ambos os lados da equação à potência
:
Calculando o lado esquerdo:
Então:
Passo 11
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Dividindo por 0,2:
Tomando a raiz quadrada:
Resposta
O número de Mach na saída do bocal CD é aproximadamente 0,55.