DETERMINE A VAZÄO VOLUMÉTRICA PELO BOCAL DE 50 mm DE DIÂMETRO E INCLINADO POR UM ÂNGULO DE 21^circ DO BARCO SE O JATO DE ÀGUA ALCANÇA O PONTO B, QUE ESTÁ A UMA DISTÂNCIA R DE 48 METROS DO BARCO. SUPONHA QUE O BARCO ESTEJA IMÓVEL. O BOCAL DO CANHÄO ESTÁ A UMA ALTURA DE 3 METROS E O PONTO B ESTÁ NO CHÄO.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar a vazão volumétrica de água que sai de um bocal de 50 mm de diâmetro, inclinado em 21 graus em relação ao barco. A água jorrada pelo bocal alcança um ponto no chão que está a 48 metros de distância do barco. Além disso, o bocal está a uma altura de 3 metros do chão, e o barco está parado. Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos de cinemática de projéteis e cálculo de vazão. Vamos dividir a solução em passos para facilitar o entendimento!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa vazão volumétrica. Ela representa o volume de água que sai do bocal por unidade de tempo, geralmente medida em metros cúbicos por segundo (m³/s).

Passo 3

Vamos começar determinando a velocidade inicial ( ) da água que sai do bocal. Como a água está sendo projetada em um ângulo de 21 graus e atinge o chão a 48 metros, podemos usar as equações de movimento de projéteis para encontrar essa velocidade.

Passo 4

As equações de movimento para um projétil lançado com velocidade inicial R = v0 cos(theta) cdot t em um ângulo h = v0 sin(theta) cdot t - 12 g t^2 são:
Onde:
  • é a distância horizontal (48 m),
  • é a altura inicial (3 m),
  • é a aceleração da gravidade (~9,81 m/s²),
  • é o tempo de voo.

Passo 5

Primeiro, vamos resolver a primeira equação para o tempo t = Rv0 cos(theta) :

Passo 6

Agora, substituímos h = v0 sin(theta) cdot ( Rv0 cos(theta) ) - 12 g ( Rv0 cos(theta) )^2 na segunda equação:
h = R tan(theta) - g R^22 v0^2 cos^2(theta)
Simplificando:

Passo 7

Rearranjando para encontrar g R^22 v0^2 cos^2(theta) = R tan(theta) - h :
v0^2 = g R^22 cos^2(theta) (R tan(theta) - h)
v0 = raiz g R^22 cos^2(theta) (R tan(theta) - h)

Passo 8

Agora, vamos substituir os valores:
  • tan(21^circ) approx 0,3839
  • cos(21^circ) approx 0,9336
  • v0 = raiz 9,81 times 48^22 times 0,9336^2 times (48 times 0,3839 - 3)
  • 48 times 0,3839 approx 18,4272
Primeiro, calculamos 18,4272 - 3 = 15,4272 e 0,9336^2 approx 0,8714 :
2 times 0,8714 times 15,4272 approx 26,844
9,81 times 48^2 = 9,81 times 2304 approx 22.572, *16 m^2/s^2
Substituindo:
v0 = raiz 22.57226,844 approx raiz841,2 approx 29,0 , m/s
Calculando passo a passo:

Passo 9

Agora que temos a velocidade inicial da água, podemos calcular a vazão volumétrica. A vazão Q = A times v0 é dada por:
Onde é a área da seção transversal do bocal.

Passo 10

Primeiro, calculamos a área A = pi ( d2 )^2 = pi ( 0,052 )^2 = pi times 0,000625 approx 0,0019635 , m^2 do bocal. O diâmetro é 50 mm, ou seja, 0,05 m. A área de um círculo é:

Passo 11

Agora, calculamos a vazão Q = 0,0019635 , m^2 times 29,0 , m/s approx 0,0569 , m^3/s :

Resposta

A vazão volumétrica pelo bocal é aproximadamente 0,0569 metros cúbicos por segundo.

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