Encontre a solução geral do sistema de equações diferenciais. x1'(t) = x1(t) + x2(t) ; x2'(t) = x1(t) + x2(t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais. O enunciado nos dá duas equações que relacionam as funções e e suas derivadas. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre sistemas de equações diferenciais lineares. Para resolver, vamos precisar entender como manipular essas equações para encontrar as soluções gerais das funções.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de forma mais clara:
Note que as duas equações são iguais. Isso nos dá uma pista de que e podem estar relacionadas de forma simples.

Passo 3

Vamos subtrair a segunda equação da primeira para simplificar:
Isso significa que a diferença entre e tem derivada zero, ou seja, é uma constante.

Passo 4

Então, podemos dizer que:
onde é uma constante. Agora, podemos expressar em função de :

Passo 5

Vamos substituir na primeira equação do sistema:
Como é constante, sua derivada é zero:

Passo 6

Agora, temos uma equação diferencial para :
Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, encontramos o fator integrante:

Passo 7

Multiplicamos toda a equação por :
O lado esquerdo agora é a derivada do produto:

Passo 8

Integramos ambos os lados:
onde é a constante de integração. A integral fica:
Assim:

Passo 9

Multiplicamos por para isolar :
Agora, lembrando que é uma constante, podemos renomeá-la ou combiná-la com . Mas vamos manter as constantes distintas para clareza.

Passo 10

Voltando à expressão de :

Resposta

A solução geral do sistema é:
onde e são constantes arbitrárias.

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