Encontre a solução geral do sistema de equações diferenciais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais. O enunciado nos dá duas equações que relacionam as funções
e
e suas derivadas. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre sistemas de equações diferenciais lineares. Para resolver, vamos precisar entender como manipular essas equações para encontrar as soluções gerais das funções.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de forma mais clara:
Note que as duas equações são iguais. Isso nos dá uma pista de que
e
podem estar relacionadas de forma simples.
Passo 3
Vamos subtrair a segunda equação da primeira para simplificar:
Isso significa que a diferença entre
e
tem derivada zero, ou seja, é uma constante.
Passo 4
Então, podemos dizer que:
onde
é uma constante. Agora, podemos expressar
em função de
:
Passo 5
Vamos substituir
na primeira equação do sistema:
Como
é constante, sua derivada é zero:
Passo 6
Agora, temos uma equação diferencial para
:
Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, encontramos o fator integrante:
Passo 7
Multiplicamos toda a equação por
:
O lado esquerdo agora é a derivada do produto:
Passo 8
Integramos ambos os lados:
onde
é a constante de integração. A integral fica:
Assim:
Passo 9
Multiplicamos por
para isolar
:
Agora, lembrando que
é uma constante, podemos renomeá-la ou combiná-la com
. Mas vamos manter as constantes distintas para clareza.
Passo 10
Voltando à expressão de
:
Resposta
A solução geral do sistema é:
onde
e
são constantes arbitrárias.