Resolva pelo Método da Variação dos Parâmetros.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
usando o Método da Variação dos Parâmetros. Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais de segunda ordem e vamos precisar entender como encontrar a solução geral combinando a solução da equação homogênea com uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Essa é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 3
Para resolver
, encontramos a equação característica substituindo
por
e
por
:
Resolvendo isso, temos:
Então, as soluções são
e
.
Passo 4
Com as raízes da equação característica, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
usando o Método da Variação dos Parâmetros. Neste método, assumimos que as constantes
e
são funções de
, ou seja,
e
.
Passo 6
Assumimos:
onde
e
são funções a serem determinadas.
Passo 7
Para encontrar
e
, usamos as condições:
Passo 8
Resolvendo o sistema de equações, adicionamos as duas equações para eliminar
:
E subtraindo as equações:
Passo 9
Integrando
e
:
Essas integrais não têm soluções elementares, então deixamos em termos de integrais.
Passo 10
Assim, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
onde
e
são constantes arbitrárias.