Resolva pelo Método da Variação dos Parâmetros.
y'' - y = 1/x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial usando o Método da Variação dos Parâmetros. Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais de segunda ordem e vamos precisar entender como encontrar a solução geral combinando a solução da equação homogênea com uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Essa é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 3

Para resolver , encontramos a equação característica substituindo por e por :
Resolvendo isso, temos:
Então, as soluções são e .

Passo 4

Com as raízes da equação característica, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa usando o Método da Variação dos Parâmetros. Neste método, assumimos que as constantes e são funções de , ou seja, e .

Passo 6

Assumimos:
onde e são funções a serem determinadas.

Passo 7

Para encontrar e , usamos as condições:

Passo 8

Resolvendo o sistema de equações, adicionamos as duas equações para eliminar :
E subtraindo as equações:

Passo 9

Integrando e :
Essas integrais não têm soluções elementares, então deixamos em termos de integrais.

Passo 10

Assim, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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