Uma bola é abandonada de uma altura
em relação ao solo. Ao tocar o chão, a bola sobe à metade da altura anterior,
, de onde caiu. Em seguida torna a cair, bater no chão e subir à metade,
, da altura de onde caiu. O processo se repete indefinidamente. Qual a distância total percorrida pela bola até o repouso?
Passo 1
O enunciado diz que uma bola é abandonada de uma altura
em relação ao solo. Ao tocar o chão, cada subida atinge a metade da altura anterior. O processo repete-se indefinidamente.
Pergunta: qual é a distância total percorrida pela bola até o repouso?
Informações dadas e relevantes:
Pergunta: qual é a distância total percorrida pela bola até o repouso?
Informações dadas e relevantes:
- Altura inicial de onde a bola é abandonada:
. - Após a primeira queda (distância
), a bola sobe até . - Depois, cai de
(distância ) e sobe até , e assim por diante. - A sequência de alturas atingidas nas subidas é
até o infinito.
Passo 2
Vamos listar as contribuições à distância total passo a passo, para visualizar bem:
- Primeiro movimento: queda inicial com distância
. - Para cada subida subsequente de altura
(com ) há duas contribuições: a subida (distância ) e a queda imediata depois (ou seja, outra ), exceto a primeira queda que já foi contada.
Portanto a distância totalpode ser escrita como suma da queda inicial mais todas as subidas e quedas seguintes:
Aqui eu peguei a informação das alturas das subidas do enunciado:
.
Passo 3
Agora precisamos calcular a soma infinita
. Note que isso é uma série geométrica. Vou explicar o que é e a fórmula que usamos.
Uma série geométrica infinita tem a forma , onde
é o primeiro termo e
a razão. Se
, a série converge e sua soma é
Uma série geométrica infinita tem a forma
Derivação rápida e intuitiva (passo a passo): considere a soma parcial até
,
Se
,
, logo
.
Passo 4
Aplicando isso à nossa soma
: aqui o primeiro termo (quando
) é
e a razão é
. Como
, a soma converge e vale
Calcule o denominador:
. Portanto
Passo 5
Retornando à expressão para a distância total
:
Substituindo a soma que encontramos,
Interpretação intuitiva: a bola percorre a altura inicial
na primeira queda e, somando todas as subidas e quedas infinitas que seguem, percorre mais
, totalizando
.
Passo 6
Checagem rápida com número concreto para ganhar confiança: se
metro, as alturas das subidas são
. A soma dessas alturas é
(conforme calculamos), então a distância total é
metros. Faz sentido lógico: a bola não viaja infinito porque as alturas diminuem geometricamente e a soma converge. Força aí — esse tipo de conta cai muito em prova!