Uma bola é abandonada de uma altura h em relação ao solo. Ao tocar o chão, a bola sobe à metade da altura anterior, h / 2, de onde caiu. Em seguida torna a cair, bater no chão e subir à metade, h / 4, da altura de onde caiu. O processo se repete indefinidamente. Qual a distância total percorrida pela bola até o repouso?

Passo 1

O enunciado diz que uma bola é abandonada de uma altura \,h em relação ao solo. Ao tocar o chão, cada subida atinge a metade da altura anterior. O processo repete-se indefinidamente.
Pergunta: qual é a distância total percorrida pela bola até o repouso?
Informações dadas e relevantes:
  • Altura inicial de onde a bola é abandonada: \,h.
  • Após a primeira queda (distância \,h), a bola sobe até \,h/2.
  • Depois, cai de \,h/2 (distância \,h/2) e sobe até \,h/4, e assim por diante.
  • A sequência de alturas atingidas nas subidas é \,h/2,\;h/4,\;h/8,\;\dots até o infinito.

Passo 2

Vamos listar as contribuições à distância total passo a passo, para visualizar bem:
  • Primeiro movimento: queda inicial com distância \,h.
  • Para cada subida subsequente de altura \,h/2^k (com k=1,2,3,\dots) há duas contribuições: a subida (distância \,h/2^k) e a queda imediata depois (ou seja, outra \,h/2^k), exceto a primeira queda que já foi contada.
    Portanto a distância total D pode ser escrita como suma da queda inicial mais todas as subidas e quedas seguintes:
D = h + 2\sum_{k=1}^{\infty} \frac{h}{2^k}.
Aqui eu peguei a informação das alturas das subidas do enunciado: \,h/2,\;h/4,\;h/8,\dots.

Passo 3

Agora precisamos calcular a soma infinita \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{h}{2^k}. Note que isso é uma série geométrica. Vou explicar o que é e a fórmula que usamos.
Uma série geométrica infinita tem a forma \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} ar^k, onde \,a é o primeiro termo e \,r a razão. Se |r|<1, a série converge e sua soma é
\sum_{k=0}^{\infty} ar^k = \frac{a}{1-r}.
Derivação rápida e intuitiva (passo a passo): considere a soma parcial até n,
S_n = a + ar + ar^2 + \dots + ar^{n} = a\frac{1-r^{n+1}}{1-r}.
Se |r|<1, \lim_{n\to\infty} r^{n+1}=0, logo \lim_{n\to\infty} S_n = \dfrac{a}{1-r}.

Passo 4

Aplicando isso à nossa soma \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{h}{2^k}: aqui o primeiro termo (quando k=1) é a = \dfrac{h}{2} e a razão é r=\dfrac{1}{2}. Como |r|<1, a soma converge e vale
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{h}{2^k} = \frac{\dfrac{h}{2}}{1-\dfrac{1}{2}}.
Calcule o denominador: 1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}. Portanto
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{h}{2^k} = \frac{\dfrac{h}{2}}{\dfrac{1}{2}} = h.

Passo 5

Retornando à expressão para a distância total \,D:
D = h + 2\sum_{k=1}^{\infty} \frac{h}{2^k}.
Substituindo a soma que encontramos,
D = h + 2\cdot h = 3h.
Interpretação intuitiva: a bola percorre a altura inicial \,h na primeira queda e, somando todas as subidas e quedas infinitas que seguem, percorre mais 2h, totalizando 3h.

Passo 6

Checagem rápida com número concreto para ganhar confiança: se \,h=1 metro, as alturas das subidas são 1/2,1/4,1/8,\dots. A soma dessas alturas é 1 (conforme calculamos), então a distância total é 1 + 2\cdot1 = 3 metros. Faz sentido lógico: a bola não viaja infinito porque as alturas diminuem geometricamente e a soma converge. Força aí — esse tipo de conta cai muito em prova!

Resposta

3h

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