Verifique se são convergentes ou divergentes as seguintes sequências:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a sequência
é convergente ou divergente. Informações dadas e o que precisamos responder:
- A sequência é dada como soma parcial (para cada
somo os primeiros termos) dos termos para . - Cada termo da soma é positivo (
para todo ). - Precisamos decidir se os
têm um limite finito quando (convergem) ou não (divergem).
A partir daqui vamos calcular explicitamentee estudar seu limite.
Passo 2
Vamos obter uma expressão fechada (fórmula) para a soma parcial
Para aprender isso de um jeito geral, primeiro ensino a regra para somas geométricas: considere a soma
onde
é um número diferente de
. Multiplicando por
temos
Subtraindo as duas expressões (faça isso mentalmente como em aula), os termos intermediários se cancelam:
Fatorando o lado esquerdo obtemos
Portanto, para
,
Explicação didática: essa manipulação é útil porque ao multiplicar por
deslocamos todos os termos uma casa, daí a subtração cancela quase tudo, sobrando apenas o primeiro e o último termo.
Passo 3
Agora aplicamos a fórmula ao nosso caso: aqui
. Então
Usando a fórmula do passo anterior com
,
Vamos simplificar essa fração passo a passo. O denominador é
Então
Dividindo as frações
, obtemos a forma mais simples:
Passo 4
Agora estudamos o comportamento quando
. Observe a parte que depende de
:
Uma propriedade básica de potências: se
, então
quando
. Intuição simples: multiplicando repetidamente por um número menor que
vamos ficando cada vez mais próximos de
. Aqui
, então
Você pode imaginar:
vai decrescendo até ficar arbitrariamente pequeno.
Passo 5
Com isso, tomamos o limite da expressão fechada encontrada no passo 3:
Portanto
tende para
quando
.
Passo 6
Comentário extra didático (útil na prova): outra maneira de ver convergência sem calcular o limite explicitamente é notar que
- todos os termos
são positivos, então a sequência de somas parciais é crescente (cada ); - a fórmula do passo 3 mostra que
para todo , ou seja, é limitada superiormente por .
Uma sequência crescente e limitada é convergente (teorema do monotone convergence). Assim também chegamos à convergência; o valor do limite já foi encontrado acima.
Passo 7
Para ficar com um feeling numérico rápido:
vai se aproximando de
, que é
. Isso ajuda a verificar que o resultado faz sentido.
Resposta
A sequência é convergente e
.