Verifique se são convergentes ou divergentes as seguintes sequências:
s_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{3^{k}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a sequência
s_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{3^{k}}
é convergente ou divergente. Informações dadas e o que precisamos responder:
  • A sequência é dada como soma parcial (para cada n somo os n primeiros termos) dos termos \frac{1}{3^{k}} para k=1,2,\dots,n.
  • Cada termo da soma é positivo ( \frac{1}{3^{k}}>0 para todo k).
  • Precisamos decidir se os s_{n} têm um limite finito quando n\to\infty (convergem) ou não (divergem).
    A partir daqui vamos calcular explicitamente s_{n} e estudar seu limite.

Passo 2

Vamos obter uma expressão fechada (fórmula) para a soma parcial
s_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{3^{k}}.
Para aprender isso de um jeito geral, primeiro ensino a regra para somas geométricas: considere a soma
S_{n}=\sum_{k=1}^{n} r^{k}=r+r^{2}+\cdots+r^{n},
onde r é um número diferente de 1. Multiplicando por r temos
rS_{n}=r^{2}+r^{3}+\cdots+r^{n+1}.
Subtraindo as duas expressões (faça isso mentalmente como em aula), os termos intermediários se cancelam:
S_{n}-rS_{n}=r-r^{n+1}.
Fatorando o lado esquerdo obtemos
(1-r)S_{n}=r-r^{n+1}.
Portanto, para r\neq 1,
\boxed{S_{n}=\frac{r-r^{n+1}}{1-r} = \frac{r\bigl(1-r^{n}\bigr)}{1-r}.}
Explicação didática: essa manipulação é útil porque ao multiplicar por r deslocamos todos os termos uma casa, daí a subtração cancela quase tudo, sobrando apenas o primeiro e o último termo.

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula ao nosso caso: aqui r=\dfrac{1}{3}. Então
s_{n}=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{3}\right)^{k}.
Usando a fórmula do passo anterior com r=\dfrac{1}{3},
s_{n}=\frac{\dfrac{1}{3}\bigl(1-\bigl(\dfrac{1}{3}\bigr)^{n}\bigr)}{1-\dfrac{1}{3}}.
Vamos simplificar essa fração passo a passo. O denominador é
1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}.
Então
s_{n}=\frac{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{2}{3}}\bigl(1-\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)^{n}\bigr).
Dividindo as frações \dfrac{1/3}{2/3}=\dfrac{1}{2}, obtemos a forma mais simples:
\boxed{s_{n}=\frac{1}{2}\Bigl(1-\Bigl(\frac{1}{3}\Bigr)^{n}\Bigr).}

Passo 4

Agora estudamos o comportamento quando n\to\infty. Observe a parte que depende de n:
\Bigl(\frac{1}{3}\Bigr)^{n}.
Uma propriedade básica de potências: se 0<r<1, então r^{n}\to 0 quando n\to\infty. Intuição simples: multiplicando repetidamente por um número menor que 1 vamos ficando cada vez mais próximos de 0. Aqui r=\dfrac{1}{3}, então
\lim_{n\to\infty}\Bigl(\frac{1}{3}\Bigr)^{n}=0.
Você pode imaginar: \tfrac{1}{3},\tfrac{1}{9},\tfrac{1}{27},\dots vai decrescendo até ficar arbitrariamente pequeno.

Passo 5

Com isso, tomamos o limite da expressão fechada encontrada no passo 3:
\lim_{n\to\infty} s_{n}=\lim_{n\to\infty} \frac{1}{2}\Bigl(1-\Bigl(\frac{1}{3}\Bigr)^{n}\Bigr) =\frac{1}{2}\bigl(1-0\bigr)=\frac{1}{2}.
Portanto s_{n} tende para \dfrac{1}{2} quando n\to\infty.

Passo 6

Comentário extra didático (útil na prova): outra maneira de ver convergência sem calcular o limite explicitamente é notar que
  • todos os termos \dfrac{1}{3^{k}} são positivos, então a sequência de somas parciais s_{n} é crescente (cada s_{n+1}=s_{n}+\dfrac{1}{3^{n+1}}>s_{n});
  • a fórmula do passo 3 mostra que s_{n}<\dfrac{1}{2} para todo n, ou seja, é limitada superiormente por \dfrac{1}{2}.
    Uma sequência crescente e limitada é convergente (teorema do monotone convergence). Assim também chegamos à convergência; o valor do limite já foi encontrado acima.

Passo 7

Para ficar com um feeling numérico rápido:
s_{1}=\tfrac{1}{3}\approx 0,333,\quad s_{2}=\tfrac{4}{9}\approx 0,444,\quad s_{3}=\tfrac{13}{27}\approx 0,481,
vai se aproximando de 0,5, que é \tfrac{1}{2}. Isso ajuda a verificar que o resultado faz sentido.

Resposta

A sequência é convergente e \displaystyle \lim_{n\to\infty}s_{n}=\frac{1}{2}.

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