Sabe-se que a soma dos m primeiros termos de uma progressão aritmética é S e a soma dos n primeiros termos também é S. Neste caso, determine a soma dos m+n primeiros termos dessa progressão aritmética.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
\text{A soma dos }m\text{ primeiros termos é }S,\quad\text{ou seja }S_m=S.é
\text{A soma dos }n\text{ primeiros termos é }S,\quad\text{ou seja }S_n=S.é
A pergunta é: determinar a soma dos m+n primeiros termos, isto é, encontrar S_{m+n} usando apenas essas informações.

Passo 2

Vamos introduzir notação padrão para uma progressão aritmética (PA). Seja \,a o primeiro termo e \,d a razão (diferença comum). O k-ésimo termo é
a_k = a + (k-1)d,
pois partimos de a e somamos (k-1) vezes a razão d.

Passo 3

A fórmula da soma dos primeiros k termos de uma PA é a seguinte:
S_k = \frac{k}{2}\bigl(2a + (k-1)d\bigr).
Explicação didática: a soma dos k termos pode ser vista como k vezes a média do primeiro e do último termo; o último termo é a+(k-1)d, então a média é \bigl(a + [a+(k-1)d]\bigr)/2=(2a+(k-1)d)/2, e multiplicando pela quantidade k obtemos a fórmula acima.

Passo 4

Escrevemos as duas igualdades fornecidas pelo enunciado usando a fórmula da soma:
S_m = \frac{m}{2}\bigl(2a + (m-1)d\bigr) = S,
S_n = \frac{n}{2}\bigl(2a + (n-1)d\bigr) = S.
Como ambas são iguais a S, temos
\frac{m}{2}\bigl(2a + (m-1)d\bigr) \;=\; \frac{n}{2}\bigl(2a + (n-1)d\bigr).

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar as frações:
m\bigl(2a + (m-1)d\bigr) = n\bigl(2a + (n-1)d\bigr).
Expandindo:
2am + m(m-1)d = 2an + n(n-1)d.
Passando os termos com a para um lado e os restantes para o outro:
2a(m-n) = \bigl(n(n-1) - m(m-1)\bigr)d.

Passo 6

Calculamos a diferença do lado direito:
n(n-1) - m(m-1) = n^2 - n - m^2 + m.
Agrupando:
n^2 - m^2 - (n - m) = (n-m)(n+m) - (n-m) = (n-m)(n+m-1).
Portanto
2a(m-n) = (n-m)(n+m-1)d.

Passo 7

Agora consideramos dois casos, porque houve um fator (m-n) envolvido.
Caso A: \,m\neq n. Então podemos dividir ambos os lados por (m-n). Observe que (n-m)=-(m-n), então ao dividir obtemos
2a = -(m+n-1)d.
Isto nos dá 2a em função de d.

Passo 8

Com essa expressão para 2a calculamos S_{m+n} pela fórmula da soma:
S_{m+n} = \frac{m+n}{2}\bigl(2a + (m+n-1)d\bigr).
Substituindo 2a = -(m+n-1)d na expressão entre parênteses:
2a + (m+n-1)d = -(m+n-1)d + (m+n-1)d = 0.
Logo
S_{m+n} = \frac{m+n}{2}\cdot 0 = 0.
Portanto, quando m\neq n, a soma dos m+n primeiros termos é zero.

Passo 9

Caso B: \,m = n. Nesse caso as duas informações do enunciado dizem a mesma coisa (a soma dos m primeiros termos é S e a soma dos n primeiros termos é S, mas m=n), então não há informação adicional que relacione a e d além da única igualdade S_m=S. Isso significa que não é possível determinar unicamente S_{m+n}=S_{2m} apenas a partir de S; diferentes PAs podem ter a mesma soma dos m primeiros termos e produzir somas diferentes para os 2m primeiros termos. Exemplo rápido para convencer:
\text{Escolha 1: } a=0,\\ d=0 \Rightarrow S_m=0,\\ S_{2m}=0.
\text{Escolha 2: } a=1,\\ d=0 \Rightarrow S_m=m,\\ S_{2m}=2m.
Ambos dão S_m igual (se escolhemos S compatível), mas S_{2m} difere; portanto S_{2m} não é determinado quando m=n.

Resposta

Se m\neq n: S_{m+n}=0.
Se m=n: a informação dada é insuficiente para determinar S_{m+n} (ou seja, S_{2m} não é determinado unicamente).

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