Sabe-se que a soma dos
primeiros termos de uma progressão aritmética é
e a soma dos
primeiros termos também é
. Neste caso, determine a soma dos
primeiros termos dessa progressão aritmética.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
A pergunta é: determinar a soma dos
primeiros termos, isto é, encontrar
usando apenas essas informações.
Passo 2
Vamos introduzir notação padrão para uma progressão aritmética (PA). Seja
o primeiro termo e
a razão (diferença comum). O
-ésimo termo é
pois partimos de
e somamos
vezes a razão
.
Passo 3
A fórmula da soma dos primeiros
termos de uma PA é a seguinte:
Explicação didática: a soma dos
termos pode ser vista como
vezes a média do primeiro e do último termo; o último termo é
, então a média é
, e multiplicando pela quantidade
obtemos a fórmula acima.
Passo 4
Escrevemos as duas igualdades fornecidas pelo enunciado usando a fórmula da soma:
Como ambas são iguais a
, temos
Passo 5
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar as frações:
Expandindo:
Passando os termos com
para um lado e os restantes para o outro:
Passo 6
Calculamos a diferença do lado direito:
Agrupando:
Portanto
Passo 7
Agora consideramos dois casos, porque houve um fator
envolvido.
Caso A:
. Então podemos dividir ambos os lados por
. Observe que
, então ao dividir obtemos
Isto nos dá
em função de
.
Passo 8
Com essa expressão para
calculamos
pela fórmula da soma:
Substituindo
na expressão entre parênteses:
Logo
Portanto, quando
, a soma dos
primeiros termos é zero.
Passo 9
Caso B:
. Nesse caso as duas informações do enunciado dizem a mesma coisa (a soma dos
primeiros termos é
e a soma dos
primeiros termos é
, mas
), então não há informação adicional que relacione
e
além da única igualdade
. Isso significa que não é possível determinar unicamente
apenas a partir de
; diferentes PAs podem ter a mesma soma dos
primeiros termos e produzir somas diferentes para os
primeiros termos. Exemplo rápido para convencer:
Ambos dão
igual (se escolhemos
compatível), mas
difere; portanto
não é determinado quando
.
Resposta
Se
:
Se : a informação dada é insuficiente para determinar
(ou seja,
não é determinado unicamente).
Se