Ao interpolarmos n meios aritméticos entre 1 e n^{2}, qual será a razão da progressão?

Passo 1

O enunciado pede: ao interpolarmos n meios aritméticos entre 1 e n^{2}, qual será a razão (diferença comum) da progressão resultante?
Informações dadas: o primeiro termo é 1; o último termo é n^{2}; foram inseridos n meios aritméticos entre eles.

Passo 2

O que significa “interpolar n meios aritméticos”? Significa que colocamos n números entre 1 e n^{2} de modo que a sequência completa seja uma progressão aritmética (PA) — isto é, cada termo aumenta de forma constante por uma mesma quantidade, chamada razão d.
Definição útil e fórmula: se uma PA tem primeiro termo a_{1} e razão d, então o k-ésimo termo é dado por
a_{k}=a_{1}+(k-1)d.
Se a PA tem m termos, o último termo a_{m} satisfaz
a_{m}=a_{1}+(m-1)d.
Aqui, como inserimos n meios aritméticos entre os dois dados, o total de termos da PA é n+2 (o termo inicial, os n meios, e o termo final). Portanto o índice do último termo é m=n+2.

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula do último termo com os dados do problema. Tomando a_{1}=1 e a_{n+2}=n^{2}, temos
n^{2}=1+(n+2-1)d.
Simplificando n+2-1 para n+1, obtemos
n^{2}=1+(n+1)d.

Passo 4

Isolamos d. Subtraindo 1 dos dois lados:
n^{2}-1=(n+1)d.
Despejando d:
d=\frac{n^{2}-1}{n+1}.

Passo 5

Fatoramos o numerador para simplificar: n^{2}-1 é uma diferença de quadrados, que se fatoriza como (n-1)(n+1). Substituindo:
d=\frac{(n-1)(n+1)}{n+1}.
Como n+1\neq 0 para os n naturais que consideramos, podemos cancelar n+1 e obter
d=n-1.

Passo 6

Verificação com exemplos numéricos para fixar a ideia: se n=3, então d=3-1=2 e a sequência é 1,3,5,7,9 (total de 3+2=5 termos), que vai de 1 até 3^{2}=9. Se n=2, d=1 e a sequência é 1,2,3,4. Se n=1, d=0 e a sequência é 1,1.

Resposta

n-1

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