Ao interpolarmos
meios aritméticos entre 1 e
, qual será a razão da progressão?
Passo 1
O enunciado pede: ao interpolarmos
meios aritméticos entre
e
, qual será a razão (diferença comum) da progressão resultante?
Informações dadas: o primeiro termo é ; o último termo é
; foram inseridos
meios aritméticos entre eles.
Informações dadas: o primeiro termo é
Passo 2
O que significa “interpolar
meios aritméticos”? Significa que colocamos
números entre
e
de modo que a sequência completa seja uma progressão aritmética (PA) — isto é, cada termo aumenta de forma constante por uma mesma quantidade, chamada razão
.
Definição útil e fórmula: se uma PA tem primeiro termo
e razão
, então o
-ésimo termo é dado por
Se a PA tem
termos, o último termo
satisfaz
Aqui, como inserimos
meios aritméticos entre os dois dados, o total de termos da PA é
(o termo inicial, os
meios, e o termo final). Portanto o índice do último termo é
.
Passo 3
Agora aplicamos a fórmula do último termo com os dados do problema. Tomando
e
, temos
Simplificando
para
, obtemos
Passo 4
Isolamos
. Subtraindo
dos dois lados:
Despejando
:
Passo 5
Fatoramos o numerador para simplificar:
é uma diferença de quadrados, que se fatoriza como
. Substituindo:
Como
para os
naturais que consideramos, podemos cancelar
e obter
Passo 6
Verificação com exemplos numéricos para fixar a ideia: se
, então
e a sequência é
(total de
termos), que vai de
até
. Se
,
e a sequência é
. Se
,
e a sequência é
.