Dados a>0 e b>0, mostre que se a_{n}=\left(a^{n}+b^{n}\right)^{1 / n} então \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\max \{a, b\}.

Passo 1

O enunciado dá a>0 e b>0 e define a sequência
a_{n}=\left(a^{n}+b^{n}\right)^{1/n}.
A pergunta é: mostrar que
\lim_{n\to\infty} a_{n}=\max\{a,b\}.
Informações relevantes: a e b são positivos; o expoente vai para o infinito; queremos o limite da raiz de ordem n da soma das potências.

Passo 2

Para organizar a resolução, defino
M=\max\{a,b\},\qquad m=\min\{a,b\}.
Então M>0, 0< m\le M e, para todo n,
a^{n}+b^{n}=M^{n}\bigl((a/M)^{n}+(b/M)^{n}\bigr).
Como um dos quocientes a/M ou b/M é igual a 1 e o outro é igual a m/M\le 1, essa soma simplifica para
a^{n}+b^{n}=M^{n}\bigl(1+(m/M)^{n}\bigr).

Passo 3

A partir da expressão anterior, escrevemos a_{n} em termos de M e m:
a_{n}=\bigl(a^{n}+b^{n}\bigr)^{1/n} = \bigl(M^{n}\bigl(1+(m/M)^{n}\bigr)\bigr)^{1/n} = M\bigl(1+(m/M)^{n}\bigr)^{1/n}.
Isto é uma reescrita exata e já deixa explícito que o comportamento de a_{n} está ligado ao fator \bigl(1+(m/M)^{n}\bigr)^{1/n}.

Passo 4

Agora analisamos o comportamento do fator
F_{n}:=\bigl(1+(m/M)^{n}\bigr)^{1/n}.
Existem dois casos: m<M (os números são diferentes) e m=M (eles são iguais). Vou tratar os dois.

Passo 5

Caso m<M. Aqui 0\le m/M<1, logo
\lim_{n\to\infty}(m/M)^{n}=0.
Assim 1+(m/M)^{n}\to 1. Para concluir que F_{n}\to 1 uso logaritmo natural: escrevo
\ln F_{n}=\frac{1}{n}\ln\bigl(1+(m/M)^{n}\bigr).
Como \ln\bigl(1+(m/M)^{n}\bigr)\to 0 e estamos dividindo por n\to\infty, segue que
\lim_{n\to\infty}\ln F_{n}=0.
Exponentiando, obtemos \lim_{n\to\infty}F_{n}=e^{0}=1. Portanto, do passo 3,
\lim_{n\to\infty} a_{n}=M\cdot 1=M.

Passo 6

Caso m=M. Isso significa a=b=M. Então
a_{n}=\bigl(M^{n}+M^{n}\bigr)^{1/n}=\bigl(2M^{n}\bigr)^{1/n}=2^{1/n}M.
Como \lim_{n\to\infty}2^{1/n}=1 (porque \ln 2 / n\to 0), temos novamente
\lim_{n\to\infty} a_{n}=M.

Passo 7

Concluímos que, em ambos os casos ( m<M ou m=M), \lim_{n\to\infty}a_{n}=M. Em palavras: a raiz enésima da soma das potências é dominada pelo maior dos dois termos, por isso a sequência tende ao maior entre a e b. Um exemplo numérico rápido para intuição: se a=3 e b=2, então a_{n} tende a 3.

Resposta

\max\{a,b\}

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