Dados
e
, mostre que se
então
.
Passo 1
O enunciado dá
e
e define a sequência
A pergunta é: mostrar que
Informações relevantes:
e
são positivos; o expoente vai para o infinito; queremos o limite da raiz de ordem
da soma das potências.
Passo 2
Para organizar a resolução, defino
Então
,
e, para todo
,
Como um dos quocientes
ou
é igual a
e o outro é igual a
, essa soma simplifica para
Passo 3
A partir da expressão anterior, escrevemos
em termos de
e
:
Isto é uma reescrita exata e já deixa explícito que o comportamento de
está ligado ao fator
.
Passo 4
Agora analisamos o comportamento do fator
Existem dois casos:
(os números são diferentes) e
(eles são iguais). Vou tratar os dois.
Passo 5
Caso
. Aqui
, logo
Assim
. Para concluir que
uso logaritmo natural: escrevo
Como
e estamos dividindo por
, segue que
Exponentiando, obtemos
. Portanto, do passo 3,
Passo 6
Caso
. Isso significa
. Então
Como
(porque
), temos novamente
Passo 7
Concluímos que, em ambos os casos (
ou
),
. Em palavras: a raiz enésima da soma das potências é dominada pelo maior dos dois termos, por isso a sequência tende ao maior entre
e
. Um exemplo numérico rápido para intuição: se
e
, então
tende a
.