Considere a massa do bloco 11 kg e sua velocidade inicial de subida de 8 \mathrm{~m} / \mathrm{s} 2. Considere que agora há atrito na rampa. O ângulo da rampa é 50^{\circ} em relação à horizontal. Quando o deslocamento do bloco é de \mathrm{d}=0,7 \mathrm{~m}, sua velocidade de subida diminui para \mathrm{v}=4,2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine: (a) a aceleração do bloco e (b) o coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o plano.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Massa do bloco: m=11\\ \mathrm{kg}.
  • Velocidade inicial (subindo a rampa): v_0=8\\ \mathrm{m/s}.
  • Velocidade após deslocamento d (ainda subindo): v=4{,}2\\ \mathrm{m/s}.
  • Deslocamento ao longo da rampa: d=0{,}7\\ \mathrm{m}.
  • Inclinação da rampa: \theta=50^\circ.
O enunciado pede:
(a) a aceleração do bloco \,a (assumir aceleração constante);
(b) o coeficiente de atrito cinético \mu_k entre bloco e plano.

Passo 2

Primeiro vamos achar a aceleração usando cinemática (movimento retilíneo uniformemente variado ao longo da rampa). A fórmula que relaciona velocidades, aceleração e deslocamento é
v^2 = v_0^2 + 2 a d.
Aqui:
  • v_0 é a velocidade inicial ao longo da rampa (positive no sentido de subida),
  • v é a velocidade depois do deslocamento d,
  • a é a aceleração ao longo da rampa (pode ser negativa se a velocidade diminuir),
  • d é o deslocamento ao longo da rampa.
Isolando a obtemos
a = \frac{v^2 - v_0^2}{2d}.
Agora calculamos passo a passo:
v_0^2 = 8^2 = 64,
v^2 = 4{,}2^2 = 17{,}64,
v^2 - v_0^2 = 17{,}64 - 64 = -46{,}36,
2d = 2\cdot 0{,}7 = 1{,}4.
Portanto
a = \frac{-46{,}36}{1{,}4} = -33{,}1142857\\ \mathrm{m/s^2}.
Arredondando com duas casas decimais:
a \approx -33{,}11\\ \mathrm{m/s^2}.
O sinal negativo indica que a aceleração está no sentido oposto ao da velocidade inicial (ou seja, é uma desaceleração enquanto o bloco sobe).

Passo 3

Agora relacionamos a aceleração com as forças para achar \mu_k. Escolhemos o eixo positivo para cima ao longo da rampa. Aplicando a Segunda Lei de Newton ao longo da rampa:
\sum F_{||} = m a.
As forças que atuam ao longo da rampa (projeções) são:
  • Componente do peso para baixo da rampa: -mg\sin\theta.
  • Força de atrito cinético (oposta ao movimento). O bloco sobe, então o atrito aponta para baixo da rampa e vale f_k=\mu_k N.
    A normal é N = mg\cos\theta, então f_k=\mu_k m g \cos\theta.
Somando:
m a = -m g \sin\theta - \mu_k m g \cos\theta.
Cancelando m (não nulo) e isolando \mu_k:
a = -g\sin\theta - \mu_k g\cos\theta
\Rightarrow -\frac{a}{g} = \sin\theta + \mu_k\cos\theta
\Rightarrow \mu_k = \frac{-a/g - \sin\theta}{\cos\theta}.

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos. Usarei g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}.
Calculemos cada termo:
-\frac{a}{g} = -\frac{-33{,}1142857}{9{,}8} = \frac{33{,}1142857}{9{,}8} \approx 3{,}379616108.
Os valores das funções trigonométricas (para \theta=50^\circ) são:
\sin 50^\circ \approx 0{,}7660444431,\qquad \cos 50^\circ \approx 0{,}6427876097.
Substituindo em \mu_k:
\mu_k = \frac{3{,}379616108 - 0{,}7660444431}{0{,}6427876097} = \frac{2{,}613571665}{0{,}6427876097} \approx 4{,}064721934.
Arredondando com duas casas decimais:
\mu_k \approx 4{,}06.
Observação física rápida: este valor de \mu_k é muito grande para superfícies comuns (valores típicos são 0{,}1 a 1). Isso significa que, com os dados numéricos fornecidos, a desaceleração deduzida é muito grande, exigindo um coeficiente de atrito muito alto — matematicamente correto, mas fisicamente atípico. Ainda assim, a aplicação das equações está consistente com os dados fornecidos.

Passo 5

Resumo dos resultados calculados (já apresentados): a aceleração ao longo da rampa é negativa (desaceleração) e, usando Newton com atrito, obteve-se o coeficiente de atrito cinético.

Resposta

(a) a = -33{,}11\\ \mathrm{m/s^2}
(b) \mu_k = 4{,}06

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