Uma bola é arremessada verticalmente para cima do alto de um morro de 50 m de altura. A velocidade inicial da bola é de 14 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e, portanto, a função posição é
s(t)=-4,9 t^{2}+14 t+50,
onde t é o tempo em segundos. Determine a altura, a velocidade e a aceleração da bola no instante t=3 s.

Passo 1

O enunciado dá a função posição
s(t) = -4,9\,t^{2} + 14\,t + 50
de uma bola lançada para cima, e pede a altura, a velocidade e a aceleração no instante t=3\\ \mathrm{s}. Para isso vamos usar derivadas: a velocidade é v(t)=s'(t) e a aceleração é a(t)=s''(t).

Passo 2

Calcular a altura em t=3. Basta substituir t=3 em s(t):
s(3) = -4,9\cdot 3^{2} + 14\cdot 3 + 50 = -4,9\cdot 9 + 42 + 50 = -44,1 + 92 = 47,9.
Logo, a altura é 47,9\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Determinar a velocidade geral v(t)=s'(t). Derivando
v(t) = \frac{d}{dt}\bigl(-4,9\,t^{2} + 14\,t + 50\bigr) = -9,8\,t + 14.
Então em t=3:
v(3) = -9,8\cdot 3 + 14 = -29,4 + 14 = -15,4.
Portanto a velocidade é -15,4\\ \mathrm{m}/\mathrm{s} (indo para baixo).

Passo 4

Determinar a aceleração geral a(t)=v'(t). Como v(t)=-9,8\,t+14, temos
a(t) = \frac{d}{dt}(-9,8\,t + 14) = -9,8.
Logo em qualquer instante, inclusive t=3,
a(3) = -9,8\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.

Resposta

altura em t=3\\ \mathrm{s}: 47,9\\ \mathrm{m}
velocidade em t=3\\ \mathrm{s}: -15,4\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}
aceleração em t=3\\ \mathrm{s}: -9,8\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}

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