Encontre \frac{d y}{d x} em cada caso:
\ln (x y)-x^{3} \sin y=2

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
\ln(xy)\;-\;x^{3}\,\sin y \;=\;2
e pede \frac{dy}{dx}. O conteúdo principal aqui é diferenciação implícita, usando regra da cadeia e, quando necessário, regra do produto.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados em relação a x:
– Para \ln(xy), aplicamos a cadeia e a regra do produto em xy:
\frac{d}{dx}\ln(xy) = \frac{1}{xy}\,\frac{d}{dx}(x\,y) = \frac{1}{xy}\bigl(x\,\frac{dy}{dx}+y\bigr).
– Para -x^{3}\sin y, aplicamos regra do produto e cadeia em \sin y:
\frac{d}{dx}\bigl(-x^{3}\sin y\bigr) = -\bigl(3x^{2}\sin y + x^{3}\cos y\,\frac{dy}{dx}\bigr).
O lado direito é constante, logo sua derivada é zero.

Passo 3

Somando as derivadas e igualando a zero:
\frac{1}{xy}\bigl(x\,\frac{dy}{dx}+y\bigr) -3x^{2}\sin y - x^{3}\cos y\,\frac{dy}{dx} =0.
Multiplicando tudo por xy para eliminar a fração:
x\,\frac{dy}{dx}+y \;-\;3x^{3}y\sin y \;-\;x^{4}y\cos y\,\frac{dy}{dx} =0.
Agrupando os termos que contêm \frac{dy}{dx}:
\bigl(x - x^{4}y\cos y\bigr)\frac{dy}{dx} =3x^{3}y\sin y - y.

Passo 4

Isolando \frac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx} =\frac{3x^{3}y\sin y - y}{\,x - x^{4}y\cos y\,} =\frac{y\,(3x^{3}\sin y -1)}{x\,(1 - x^{3}y\cos y)}.

Resposta

\frac{dy}{dx} =\frac{3x^{3}y\sin y - y}{\,x - x^{4}y\cos y\,}.

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