A 0 graus Celsius, a perda de calor H (em quilocalorias por metro quadradohora) de uma espécie de planta em uma fazenda na Noruega pode ser expressa pela função
H=33(10 \sqrt{v}-v+10,45)
onde v é a velocidade do vento (em metros por segundo).
(a) Determine \frac{d H}{d v}.
(b) Calcule a taxa de variação de H para v=2 e v=5.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
H(v)=33\bigl(10\sqrt{v}-v+10,45\bigr)
que descreve a perda de calor em função da velocidade do vento v. O objetivo de (a) é calcular a derivada \tfrac{dH}{dv} usando regras de derivada de soma, constante e potência. Em (b) vamos avaliar essa derivada em v=2 e em v=5.

Passo 2

Para derivar, note que 10\sqrt{v}=10\,v^{1/2}. Logo, aplicando \bigl(c\,f(v)\bigr)'=c\,f'(v) e (v^{1/2})'=\tfrac12\,v^{-1/2}, temos
\frac{dH}{dv} =33\Bigl(10\cdot\tfrac12\,v^{-1/2}-1+0\Bigr) =33\Bigl(5\,v^{-1/2}-1\Bigr) =33\Bigl(\frac{5}{\sqrt{v}}-1\Bigr).

Passo 3

Avaliar em v=2:
\frac{dH}{dv}(2) =33\Bigl(\frac{5}{\sqrt{2}}-1\Bigr) \approx 33\bigl(3,5355-1\bigr) =33\cdot2,5355 \approx83,67.

Passo 4

Avaliar em v=5:
\frac{dH}{dv}(5) =33\Bigl(\frac{5}{\sqrt{5}}-1\Bigr) \approx 33\bigl(2,2361-1\bigr) =33\cdot1,2361 \approx40,79.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{dH}{dv}=33\Bigl(\frac{5}{\sqrt{v}}-1\Bigr).
(b) \displaystyle \frac{dH}{dv}(2)\approx83,67, \displaystyle \frac{dH}{dv}(5)\approx40,79.

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